Opérations sur les entiers : dans quel ordre calculer ?

Tu entres dans une papeterie. Tu prends un stylo à 3 € et deux cahiers à 4 € l'un. Combien paies-tu ?

Tu le sais sans y réfléchir : les deux cahiers coûtent $4 + 4 = 8$ euros, et avec le stylo cela fait $11$ euros.

Écrivons maintenant ce calcul en une seule ligne :

Si tu lis cette ligne de gauche à droite, comme une phrase, tu calcules d'abord $3 + 2 = 5$, puis $5 \times 4 = 20$. Tu obtiens $20$ euros. Or tu viens de payer $11$ euros. Le calcul est le même, la caisse ne s'est pas trompée : c'est la lecture qui est fausse.

Voilà tout le sujet de cette leçon. Un calcul écrit en ligne ne se traite pas aveuglément de gauche à droite : à priorité égale, on suit toutefois cet ordre, comme on le précisera plus bas. Il se lit dans un ordre, et cet ordre est le même pour tout le monde.

La règle.

Dans un calcul, on effectue d'abord les multiplications et les divisions, puis seulement ensuite les additions et les soustractions.

Pourquoi cet ordre plutôt qu'un autre ? Parce qu'une multiplication est un paquet : $2 \times 4$ ne désigne pas deux opérations, il désigne un seul objet, le prix des deux cahiers. La règle dit simplement : on calcule le contenu de chaque paquet avant de rassembler les paquets.

Le vocabulaire, une fois pour toutes. Chaque opération a un nom, et son résultat aussi.

Ces mots servent tous les jours en classe. « Calcule la somme de $17$ et de $8$ » veut dire $17 + 8$. « Calcule le produit de $6$ par $9$ » veut dire $6 \times 9$.

Deux libertés, et deux interdits. Pour une addition et pour une multiplication, tu peux changer l'ordre des nombres et les regrouper comme tu veux : $25 \times 7 \times 4$ se calcule plus vite en commençant par $25 \times 4 = 100$, ce qui donne $700$. En revanche, pour une soustraction et pour une division, l'ordre compte : $10 - 4$ vaut $6$, mais $4-10=-6$ sort du domaine des entiers naturels retenu dans cette leçon.

Les parenthèses passent avant tout le reste.

Reprenons la papeterie. Cette fois, tu achètes deux lots contenant chacun un stylo à $3$ € et un cahier à $4$ €. Le prix d'un lot est $3 + 4 = 7$ euros, et deux lots coûtent $14$ euros. En une ligne :

Les parenthèses ne sont pas une décoration : elles disent « ce qui est à l'intérieur forme un seul nombre, calculez-le d'abord ». Sans elles, $3 + 4 \times 2$ vaudrait $11$, ce qui n'est pas le prix des deux lots.

L'ordre complet des priorités, du plus pressé au moins pressé :

1. ce qui est entre parenthèses ;
2. les multiplications et les divisions ;
3. les additions et les soustractions.

Et à l'intérieur d'un même étage, quand il ne reste que des additions et des soustractions, ou que des multiplications et des divisions, on avance de gauche à droite : $20 - 6 - 3$ vaut $11$, et non $17$.

La division euclidienne : deux réponses, pas une.

Un professeur d'EPS a $29$ élèves et forme des équipes de $4$ joueurs. Combien d'équipes complètes ? Il peut en former $7$, parce que $4 \times 7 = 28$. Et il reste $1$ élève, qui n'entre dans aucune équipe complète.

Cette opération porte un nom.

La division euclidienne de $29$ par $4$ consiste à écrire $29 = 4 \times 7 + 1$, où $7$ est le quotient (le nombre de groupes complets) et $1$ est le reste (ce qui n'entre dans aucun groupe).

Deux conditions, et elles comptent autant l'une que l'autre :

1. le dividende est un entier naturel, le diviseur est un entier strictement positif ; le quotient et le reste sont des entiers naturels, donc positifs ou nuls ;
2. le reste est strictement plus petit que le diviseur.

La deuxième condition est celle que l'on oublie. Si tu trouvais un reste de $5$ en divisant par $4$, ce serait faux : avec $5$ élèves restants, tu pourrais encore former une équipe complète. Si l’égalité $a=bq+r$ est bien vérifiée avec $r \geq b$, le quotient choisi est trop petit et il reste au moins un groupe complet à former.

Comment vérifier une division euclidienne ? En remultipliant. Tu as trouvé un quotient $q$ et un reste $r$ en divisant $a$ par $b$ ? Calcule $b \times q + r$ : tu dois retomber exactement sur $a$. Ici, $4 \times 7 + 1 = 29$. Cette vérification prend cinq secondes et attrape presque toutes les erreurs.

Quand le reste est nul. Si la division tombe juste, par exemple $28 = 4 \times 7 + 0$, on dit que $28$ est divisible par $4$, ou encore que $4$ divise $28$. C'est le point de départ d'un chapitre entier que tu retrouveras plus tard au collège.

Un supplément, pour ta curiosité. Les deux libertés du bloc précédent — changer l'ordre, regrouper — portent des noms savants : on dit que l'addition et la multiplication sont commutatives et associatives. Et l'égalité $(3 + 4) \times 2 = 3 \times 2 + 4 \times 2$ s'appelle la distributivité. Ces mots nomment des propriétés déjà utilisées ; ce parcours privilégie leur compréhension et les gestes de calcul, sans faire de leur vocabulaire un obstacle.

Énoncé. Une bibliothèque possède $7$ étagères de $12$ albums. Elle reçoit $19$ albums, puis en retire $4$ pour réparation. Elle prépare des lots de $8$ albums parmi ceux qui restent disponibles. Combien de lots complets peut-elle préparer et combien d’albums restent isolés ?

Faire le bilan avant de regrouper. Les albums disponibles sont au nombre de

La multiplication compte les albums déjà rangés. L’ajout et le retrait portent ensuite sur ce stock ; ils se traitent de gauche à droite.

Former les lots. On écrit la division euclidienne

La bibliothèque prépare donc 12 lots complets, avec 3 albums isolés. Le quotient compte des lots ; le reste compte des albums.

Contrôler toute la chaîne. Les $12$ lots contiennent $96$ albums ; avec les $3$ isolés, on retrouve les $99$ disponibles. Les $4$ albums en réparation ont été retirés avant la constitution des lots : les ajouter au reste changerait la question.

Figure (fig.math.operation-priorities, SVG programmatique existant) : un escalier à trois marches, surmonté de deux bandes de calcul qui comparent la bonne lecture et la mauvaise.

• Partie haute — l'escalier, dessiné de bas en haut, la marche la plus haute étant la plus prioritaire. Trois marches, chacune portant un intitulé et un exemple :
• marche du haut, la plus large : « $1.$ Parenthèses » avec l'exemple $(3 + 4)$ ;
• marche du milieu : « $2.$ Multiplications et divisions » avec les signes $\times$ et $\div$ ;
• marche du bas : « $3.$ Additions et soustractions » avec les signes $+$ et $-$.
• Le long de l'escalier, une flèche verticale descend de la marche du haut à celle du bas, légendée « on descend l'escalier, marche par marche ». Chaque marche porte une texture différente — pleine, hachurée, pointillée — pour que l'information ne repose jamais sur la seule couleur.
• Partie basse — les deux lectures du même calcul, l'une au-dessus de l'autre, sur le calcul $3 + 2 \times 4$.
• Bande du haut, encadrée d'un trait épais et cochée : le produit $2 \times 4$ est entouré, une flèche descend vers $8$, puis la ligne suivante montre $3 + 8$, puis le résultat $11$ dans un cadre.
• Bande du bas, encadrée d'un trait fin et barrée d'une croix : la somme $3 + 2$ est entourée, une flèche descend vers $5$, puis $5 \times 4$, puis $20$. Sous ce $20$, la mention « lecture de gauche à droite : $20$ n'est pas le résultat de ce calcul ».
• Tout en bas, un rappel de la situation concrète : un stylo à $3$ € et deux cahiers à $4$ € font $11$ €, avec trois petites icônes alignées.

Ce qu'il faut lire. Les deux bandes partent du même calcul et arrivent à deux nombres différents. L’expression et les conventions de priorité déterminent le résultat ; changer cet ordre sans respecter ces conventions revient à calculer une autre expression. L'escalier donne cet ordre, et il ne change jamais.

La figure en détail : un escalier à trois marches numérotées de haut en bas. Marche 1, la plus prioritaire : les parenthèses. Marche 2 : les multiplications et les divisions. Marche 3 : les additions et les soustractions. Une flèche descend le long de l'escalier. Sous l'escalier, deux calculs du même départ 3 plus 2 fois 4. Le premier, encadré et validé, entoure 2 fois 4 égale 8, puis 3 plus 8 égale 11. Le second, barré d'une croix, entoure 3 plus 2 égale 5, puis 5 fois 4 égale 20, avec la mention que 20 vient d'une lecture de gauche à droite et n'est pas le résultat. En bas, le rappel : un stylo à 3 euros et deux cahiers à 4 euros font 11 euros.