Division euclidienne et racines d’un polynôme

Dans $\mathbb K[X]$ avec $\mathbb K$ un corps, tout polynôme $A$ se divise par un polynôme non nul $B$ : $A=BQ+R$, avec $\deg R<\deg B$ ou $R=0$. Le quotient et le reste sont uniques. Cette division est algébrique ; les variables ne doivent pas être remplacées par un nombre qui annule le diviseur dans une fraction.

Pour $B=X-a$, le reste est constant et vaut $A(a)$ en évaluant l'égalité de division. Ainsi $a$ est racine si et seulement si $X-a$ divise $A$. Des divisions successives permettent d'étudier la multiplicité d'une racine. Le PGCD de deux polynômes se calcule par l'algorithme d'Euclide, à un facteur constant non nul près.

Divisez $P(X)=X^3-2X+1$ par $X-2$. Le quotient est $X^2+2X+2$, puisque $(X-2)(X^2+2X+2)=X^3-2X-4$. Il reste donc 5. Le contrôle par évaluation donne $P(2)=8-4+1=5$. En particulier, 2 n'est pas une racine. Au contraire, $P(1)=0$, donc $X-1$ est un facteur.

Le tableau affiche le polynôme initial, le quotient par X−2 et le reste obtenu en 2. Le produit de reconstruction se calcule dans l'exemple ; il n'est pas dessiné dans la figure. Développer (X−2)(X²+2X+2)+5 permet de contrôler tous les coefficients, tandis que l'évaluation en 2 vérifie seulement le reste.