Probabilités sur un univers dénombrable

Sur un univers dénombrable, une probabilité est donnée par une famille de masses $p_k\ge0$ dont la série vaut un. La probabilité d'un événement est la somme des masses correspondantes. La sigma-additivité autorise l'addition sur une réunion dénombrable d'événements disjoints ; une simple somme finie ne suffit plus à définir tout le cadre.

Pour une variable discrète, l'espérance se définit par une série lorsque la somme des valeurs absolues pondérées converge. Une loi géométrique sur $\{1,2,\ldots\}$ vérifie $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$ avec $0<p\le1$. Une convention sur $\{0,1,\ldots\}$ décale les puissances et l'espérance ; il faut annoncer le support.

On propose $P(X=k)=c(2/3)^k$ pour $k\ge0$. La somme géométrique vaut 3, donc $c=1/3$. Alors $P(X\ge2)=(1/3)(2/3)^2/(1-2/3)=4/9$. L'espérance vaut $(2/3)/(1/3)=2$ dans cette convention. Contrôle : $P(X=0)+P(X=1)+P(X\ge2)=1/3+2/9+4/9=1$.

Le tableau distingue la constante de normalisation, les premières masses et la queue infinie. La queue n'est pas un reste négligeable fixé arbitrairement : c'est une somme de série calculable. Les premières masses ne totalisent pas à elles seules toute la loi.