Probabilités sur un univers fini

Sur un univers fini $\Omega$, une probabilité attribue des masses positives ou nulles dont la somme vaut un. Un événement est une partie de cet univers ; sa probabilité est la somme des masses des issues qu'il contient. La formule « cas favorables sur cas possibles » n'est valable directement que lorsque les issues élémentaires considérées sont équiprobables.

Si $P(B)>0$, la probabilité conditionnelle est $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$. Elle revient à restreindre l'information à $B$ et renormaliser. L'indépendance exige $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ; elle ne signifie pas incompatibilité. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont pas indépendants.

On lance deux dés équilibrés indépendants et distingue leur ordre : l'univers a 36 couples équiprobables. Soit $A$ « somme égale à 8 » et $B$ « premier dé égal à 3 ». On a $P(A)=5/36$, $P(B)=6/36$ et $P(A\cap B)=1/36$, correspondant au couple $(3,5)$. Donc $P(A\mid B)=1/6$, différent de $5/36$ : les deux événements ne sont pas indépendants.

Le tableau présente le dénombrement avant et après conditionnement. La colonne conditionnée ne garde que les six couples de première coordonnée 3. Un seul a pour somme 8 ; le dénominateur est donc six dans cet univers réduit.