Reconnaître, construire et mesurer un parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans ABCD, les sommets sont nommés dans l’ordre du contour : (AB) est parallèle à (CD), et (AD) à (BC). Le mot opposés est essentiel : deux côtés consécutifs se rencontrent en un sommet et ne sont pas les deux côtés concernés par une même paire.

Un rectangle, un losange et un carré sont des parallélogrammes particuliers. Le rectangle possède quatre angles droits ; le losange possède quatre côtés de même longueur ; le carré réunit ces deux conditions. Un carré est donc aussi un rectangle et un losange. Ces catégories ne sont pas des boîtes disjointes.

Un dessin déformé par la perspective ou un croquis peu précis peut masquer ces propriétés. Ce sont les informations données et les codages qui permettent de raisonner, pas la seule apparence de la figure.

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur et les diagonales se coupent en leur milieu. L’intersection des diagonales est le centre d’un demi-tour qui échange les sommets opposés. Cela explique notamment la conservation des côtés et des angles opposés.

Réciproquement, un quadrilatère non aplati dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Pour éviter les ambiguïtés, les sommets doivent suivre le contour du quadrilatère. On peut aussi utiliser deux paires de côtés opposés de mêmes longueurs, ou une paire de côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur.

À l’intérieur de la famille des parallélogrammes, des diagonales de même longueur caractérisent un rectangle ; des diagonales perpendiculaires caractérisent un losange. Ces deux conditions réunies donnent un carré. Des diagonales simplement égales dans un quadrilatère quelconque ne suffisent pas à prouver qu’il est rectangle : la condition de parallélogramme ne doit pas disparaître.

Choisissons un point O et deux droites distinctes qui s’y coupent. Plaçons A et C sur la première, de part et d’autre de O, avec OA = OC = 3 cm. Plaçons B et D sur la seconde avec OB = OD = 5 cm. En reliant A, B, C et D dans cet ordre, nous obtenons un parallélogramme car les diagonales ont le même milieu O.

Ses diagonales mesurent 6 et 10 cm. Elles ne sont pas égales : le parallélogramme n’est pas un rectangle. Sans information sur l’angle entre les diagonales, on ne peut pas affirmer qu’il est un losange.

Pour une autre figure, une base de 7 cm et une hauteur perpendiculaire de 4 cm donnent une aire de 28 cm². Un côté oblique de 5 cm n’entre pas dans ce calcul. Il peut en revanche intervenir dans le périmètre.

Sur la figure, la hauteur tombe perpendiculairement sur la droite portant la base. En découpant le triangle situé à une extrémité puis en le déplaçant à l’autre, on peut reformer un rectangle de même base et de même hauteur. Les mêmes morceaux occupent la même aire, sans trou ni recouvrement.

Reproduis le découpage sur papier quadrillé pour un parallélogramme peu incliné. Marque le pied de la hauteur avec un petit angle droit. Pour une figure très inclinée, le pied peut se trouver hors du segment de base : la hauteur reste la distance perpendiculaire entre les deux droites parallèles. La formule d’aire ne dépend donc pas du fait que le pied soit à l’intérieur du dessin.