Réduction de Gauss et signature

Le trinôme $ax^{2} + bx + c$ se lit sur sa forme canonique $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a}$. La réduction de Gauss fait la même chose pour une forme quadratique à plusieurs variables : elle l'écrit comme une somme de carrés, d'où l'on lit d'un coup d'œil son rang et son signe.

Le théorème. Toute forme quadratique $q$ sur $\mathbb{R}^{n}$ s'écrit

où les $\lambda_i$ sont des réels non nuls et les $L_i$ des formes linéaires linéairement indépendantes. L'algorithme de Gauss en construit une.

L'algorithme, cas 1 : il y a un carré. Si $q$ contient $x_1^{2}$ avec un coefficient $a \ne 0$, on regroupe tous les termes qui contiennent $x_1$ et on complète le carré :

Le reste ne contient plus $x_1$ : on recommence sur $n - 1$ variables.

Cas 2 : aucun carré. Si $q$ n'a que des termes rectangles, par exemple $x_1 x_2$, on fait apparaître des carrés par l'identité

ou, ce qui revient au même, par le changement de variables $x_1 = u + v$, $x_2 = u - v$. Une forme sans carré n'est donc jamais un blocage.

Rang et signature. Le nombre $r$ de carrés est le rang de $q$. La signature est le couple $(p\,;\,s)$, où $p$ est le nombre de coefficients $\lambda_i > 0$ et $s$ le nombre de coefficients $\lambda_i < 0$ ; ainsi $p + s = r$.

La loi d'inertie de Sylvester. Le couple $(p\,;\,s)$ ne dépend pas de la décomposition choisie : deux réductions différentes d'une même forme ont le même nombre de carrés positifs et le même nombre de carrés négatifs. C'est ce théorème qui donne un sens à « la » signature. Sans lui, on ne saurait pas si un autre ordre de réduction donnerait autre chose.

Indépendance : la condition qu'on oublie. $(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}$ est une somme de trois carrés, mais les trois formes linéaires sont liées (leur somme est nulle). La réduction de Gauss donne en réalité deux carrés : rang $2$, signature $(2\,;\,0)$, et non $(3\,;\,0)$. Compter les carrés d'une écriture quelconque ne donne rien ; compter ceux d'une écriture à formes indépendantes donne tout.

Classification. Deux formes quadratiques sur $\mathbb{R}^{n}$ sont équivalentes (il existe un changement de base qui transforme l'une en l'autre) si et seulement si elles ont la même signature. Dans une base adaptée, une forme de signature $(p\,;\,s)$ s'écrit

Sur $\mathbb{R}^{3}$, il y a exactement neuf classes de formes non nulles : $(3\,;\,0)$, $(2\,;\,1)$, $(1\,;\,2)$, $(0\,;\,3)$, $(2\,;\,0)$, $(1\,;\,1)$, $(0\,;\,2)$, $(1\,;\,0)$, $(0\,;\,1)$.

Lire le signe sur la signature. En dimension $n$ :

• définie positive $\iff$ signature $(n\,;\,0)$ — c'est un produit scalaire ;
• positive $\iff$ $s = 0$ ; elle est dégénérée si de plus $p < n$ ;
• définie négative $\iff$ $(0\,;\,n)$ ;
• indéfinie $\iff$ $p \ge 1$ et $s \ge 1$ : elle prend des valeurs des deux signes.

Les coefficients écrits dans le polynôme ne suffisent jamais : $x^{2} + 4xy + y^{2}$ a des coefficients tous positifs et vaut $-2$ en $(1, -1)$. Sa réduction le dit : $(x + 2y)^{2} - 3y^{2}$, signature $(1\,;\,1)$, indéfinie.

Le lien avec les valeurs propres. La matrice $M$ d'une forme quadratique est symétrique réelle ; le théorème spectral (admis ici) dit qu'elle est diagonalisable dans une base orthonormée. Dans cette base, $q = \mu_1 y_1^{2} + \dots + \mu_n y_n^{2}$, où les $\mu_i$ sont les valeurs propres. Donc :

$p$ = nombre de valeurs propres strictement positives, $s$ = nombre de valeurs propres strictement négatives (comptées avec multiplicité).

Les coefficients des carrés de Gauss ne sont pas les valeurs propres, mais leurs signes se répartissent de la même façon. C'est un moyen de contrôle, pas une méthode : calculer des valeurs propres en dimension $3$ est souvent bien plus long qu'une réduction de Gauss.

Pivots et déterminant. Quand la réduction se fait sans changement de variables (cas 1 à chaque étape, dans l'ordre $x_1, x_2, \dots$), les coefficients $\lambda_i$ sont les pivots de l'élimination de Gauss symétrique sur $M$, et leur produit vaut $\det M$. Le signe du déterminant d'une forme non dégénérée de $\mathbb{R}^{3}$ est donc $(-1)^{s}$.

Le cas dégénéré. Une forme de rang $r < n$ n'a que $r$ carrés : il est vain de lui chercher une décomposition à $n$ carrés de coefficients non nuls. Exemple : $x^{2} + 4xy + 3y^{2} + 2yz - z^{2} = (x + 2y)^{2} - y^{2} + 2yz - z^{2} = (x + 2y)^{2} - (y - z)^{2}$, rang $2$, signature $(1\,;\,1)$ ; son noyau est la droite où $x + 2y = 0$ et $y = z$.

Énoncé. Déterminer, par la méthode de Gauss, le rang et la signature des formes quadratiques sur $\mathbb{R}^{3}$ :

1. $q(x, y, z) = 2x^{2} + 2xy + 3y^{2} - 4yz + z^{2}$ ;
2. $r(x, y, z) = xy + yz + zx$.

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1. Il y a un carré en $x$. On regroupe les termes en $x$ : $2x^{2} + 2xy = 2\left(x + \dfrac{y}{2}\right)^{2} - \dfrac{y^{2}}{2}$. Il reste

On recommence avec $y$ : $\dfrac{5}{2}y^{2} - 4yz = \dfrac{5}{2}\left(y - \dfrac{4}{5}z\right)^{2} - \dfrac{8}{5}z^{2}$, d'où

Les trois formes linéaires $x + \dfrac{y}{2}$, $y - \dfrac{4}{5}z$, $z$ sont indépendantes (matrice triangulaire à diagonale de $1$). Trois carrés, deux coefficients positifs, un négatif : rang $3$, signature $(2\,;\,1)$, forme non dégénérée et indéfinie.

Contrôles : le produit des coefficients $2 \times \dfrac{5}{2} \times \left(-\dfrac{3}{5}\right) = -3$ est le déterminant de $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, et son signe négatif annonce un nombre impair de carrés négatifs ; les valeurs propres de $M$ valent environ $-0{,}36$, $1{,}83$ et $4{,}53$ : deux positives, une négative. $\checkmark$

2. Aucun carré. On pose $x = u + v$, $y = u - v$ (changement de variables inversible). Alors $xy = u^{2} - v^{2}$ et $yz + zx = z(x + y) = 2uz$, d'où

Les formes $u + z$, $z$, $v$ sont indépendantes. Un carré positif, deux négatifs : rang $3$, signature $(1\,;\,2)$. Contrôle : la matrice de $r$ a $0$ sur la diagonale et $\dfrac{1}{2}$ ailleurs ; ses valeurs propres sont $1$ (vecteur $(1, 1, 1)$) et $-\dfrac{1}{2}$ (double). $\checkmark$

Lecture. Les signes des coefficients du polynôme de départ (quatre positifs et un négatif pour la première forme, aucun carré pour la seconde) ne disent rien de la signature. Seule la réduction — ou les valeurs propres — fait foi.

Figure (fig.math.gaussian-elimination, figure programmatique de la leçon de L1 sur l'élimination de Gauss, réutilisée ici parce que la réduction d'une forme quadratique est la même élimination, appliquée symétriquement) : en haut, trois états d'une matrice augmentée, où l'on creuse des zéros sous trois pivots encadrés $1$, $-7$, $32$ ; en bas, trois matrices échelonnées schématiques — trois pivots, une ligne impossible, une ligne nulle.

Pour cette leçon, transposez la lecture.

• Les pivots sont les coefficients des carrés. Sur la matrice symétrique $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ de l'exemple guidé, la même élimination donne les pivots $2$, puis $3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$, puis $1 - \dfrac{(-2)^{2}}{5/2} = -\dfrac{3}{5}$ : exactement les coefficients $2$, $\dfrac{5}{2}$, $-\dfrac{3}{5}$ des trois carrés. Compléter le carré en $x$, c'est faire $L_2 \leftarrow L_2 - \dfrac{1}{2}L_1$.
• Le nombre de pivots est le rang. Le panneau du bas, à droite — une ligne entièrement nulle — est le cas d'une forme dégénérée : rang $2$ pour $3$ variables, deux carrés seulement, comme $(x + 2y)^{2} - (y - z)^{2}$.
• Ce que la figure ne dit pas, et que la leçon ajoute : seul le signe des pivots compte pour la signature. La figure encadre $1$, $-7$, $32$ sans s'occuper de leur signe ; pour une forme quadratique, c'est la seule chose à lire.

Limite de l'analogie. L'élimination ordinaire échange des lignes quand un pivot est nul ; pour une forme sans terme carré (pivot $0$ en tête), on change plutôt de variables ($x = u + v$, $y = u - v$), ce que la figure ne montre pas.