Comparer des fonctions par équivalence

Dire $f(x)\sim g(x)$ au voisinage d'un point signifie que $f(x)/g(x)\to1$, avec $g$ non nulle assez près du point dans le domaine étudié. Un équivalent décrit le comportement dominant, pas une égalité exacte. Les notations $f=o(g)$ et $f=O(g)$ expriment respectivement un quotient tendant vers zéro et un quotient borné en valeur absolue.

Les équivalents se multiplient et se divisent lorsque les expressions sont définies. On ne les additionne pas sans examiner les compensations : $1+x\sim1$ et $-1\sim-1$, mais la somme $x$ n'est pas équivalente à zéro. Pour une différence de termes dominants égaux, cherchez un développement à un ordre plus précis.

Pour $x\to0$, $\ln(1+3x)\sim3x$ car la dérivée du logarithme en 1 vaut 1. Ainsi $\ln(1+3x)/x\to3$, sous la condition $1+3x>0$. En revanche, pour $\ln(1+x)-x$, le premier ordre s'annule : le développement donne $-x^2/2+o(x^2)$, donc le quotient par $x^2$ tend vers $-1/2$. Deux limites proches en apparence demandent ici des ordres différents.

Le tableau compare les relations dominantes puis la compensation. La première limite utilise un terme d’ordre un ; la différence logarithme moins x exige le terme d’ordre deux. Un graphique près de zéro peut masquer cette distinction si son échelle est trop large. Les trois lignes montrent donc quelles informations sont conservées ou perdues par une approximation de premier ordre.