Des dixièmes aux points sur une droite

Une unité contient dix dixièmes, cent centièmes et mille millièmes. Dans 23,47, le chiffre des dixièmes est 4. Mais le nombre contient 234 dixièmes complets, car les 23 unités en contiennent déjà 230 ; il reste 7 centièmes. Il contient aussi 2 347 centièmes exactement.

Écrire $23{,}47=23+4/10+7/100=2347/100$ donne plusieurs représentations du même nombre. Ajouter un zéro à droite de la partie décimale conserve sa valeur : 23,470 vaut 23,47. Ajouter un zéro dans la partie entière change généralement le nombre : 230,47 est différent.

Un nombre décimal peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est 1, 10, 100, 1 000, etc. Les entiers sont donc aussi des nombres décimaux. En revanche, un tiers n’a pas d’écriture décimale finie : 0,333 est seulement une approximation.

Pour graduer entre 2,3 et 2,4 en dix intervalles égaux, on partage un écart de 0,1 en dix : chaque pas vaut 0,01. Le quatrième pas après 2,3 conduit à 2,34. Il y a dix intervalles mais onze traits si l’on compte les deux extrémités.

On peut encadrer 2,347 au dixième : $2{,}3<2{,}347<2{,}4$, ou au centième : $2{,}34<2{,}347<2{,}35$. Intercaler signifie trouver un nombre entre deux autres : 2,345 convient entre 2,34 et 2,35. Les décimaux n’ont pas de « suivant immédiat » : on peut encore placer 2,344 entre 2,34 et 2,345.

Pour comparer des écritures différentes, ramène-les à des parts de même taille : 2,4 représente 240 centièmes, donc dépasse 2,35, qui en représente 235. La longueur de l’écriture après la virgule ne décide pas de l’ordre.

Pour arrondir 7,846 au centième, compare 7,84 et 7,85. Les distances sont 0,006 et 0,004 : 7,85 est le plus proche. Au dixième, les voisins sont 7,8 et 7,9 ; 7,8 est plus proche. À l’unité, c’est 8.

Quand le nombre est exactement au milieu, nous retenons ici la valeur supérieure : 7,845 s’arrondit à 7,85 au centième. La convention est indiquée dans les exercices. Tronquer 7,846 au centième donnerait 7,84 : ce n’est pas son arrondi.

On peut aussi arrondir un nombre non décimal. Un tiers est compris entre 0,33 et 0,34 et plus proche de 0,33 : son arrondi au centième vaut 0,33, mais $1/3\ne0{,}33$. Le signe « environ égal » garde cette distinction.

La figure partage l’intervalle de 2,3 à 2,4 en dix intervalles égaux. Le point P est à 2,34. Les points intermédiaires restent des centièmes, même si les seules grandes étiquettes sont des dixièmes. Sur papier, place 2,37 puis ajoute 2,375 à mi-chemin entre 2,37 et 2,38 ; vérifie les espacements avec une règle.