Coefficients et séries de Fourier

Une fonction périodique peut être étudiée par ses composantes trigonométriques. Pour une période $2\pi$, on définit $a_0=(1/\pi)\int_{-\pi}^{\pi}f$, $a_n=(1/\pi)\int f\cos(nx)$ et $b_n=(1/\pi)\int f\sin(nx)$ pour $n\ge1$. La série formelle est $a_0/2+\sum_{n\ge1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Il faut distinguer définition des coefficients et convergence de cette série.

L'orthogonalité sur une période permet d'isoler chaque harmonique : l'intégrale de deux cosinus de fréquences entières distinctes est nulle, celle de $\cos^2(nx)$ vaut $\pi$. Une fonction paire a ses coefficients $b_n$ nuls ; une fonction impaire a ses $a_n$ nuls. Sous des hypothèses de régularité par morceaux, la convergence ponctuelle atteint la demi-somme des limites aux sauts.

Pour $f(x)=2+3\cos(2x)-4\sin x$, l'orthogonalité donne directement $a_0=4$, $a_2=3$ et $b_1=-4$ ; tous les autres coefficients sont nuls. Le terme constant de la série est donc $a_0/2=2$, pas $4$. On peut contrôler $a_2$ en intégrant $3\cos^2(2x)$ : son intégrale sur $[-\pi,\pi]$ vaut $3\pi$, puis la normalisation par $\pi$ donne 3.

Le tableau sépare composante constante, cosinus et sinus. Les indices identifient des fréquences et non un ordre de dérivation. Dans cet exemple fini, la recomposition est une égalité exacte partout ; les questions de convergence des séries infinies ne sont pas mobilisées.