Séries entières : rayon de convergence et somme

Une série entière centrée en zéro est une série de fonctions $\sum_{n\geq0}a_nx^n$. Pour une valeur fixée de $x$, vous retrouvez une série numérique : sa convergence dépend de $x$. Il existe un rayon $R\in[0,+\infty]$ tel que la série converge absolument pour $|x|<R$ et diverge pour $|x|>R$. Le théorème ne décide rien aux points $x=R$ et $x=-R$ : ils se traitent séparément.

À l'intérieur du domaine de convergence, la somme $S(x)$ est une fonction. La série géométrique en donne le prototype : $\sum_{n\geq0}x^n=1/(1-x)$ si $|x|<1$. Une formule algébrique peut avoir un sens ailleurs ; cela ne prolonge pas automatiquement la convergence de la série qui l'a définie.

Si $a_n$ ne s'annule plus à partir d'un certain rang et si $|a_{n+1}/a_n|$ tend vers $\ell$, alors $R=1/\ell$, avec les conventions $1/0=+\infty$ et $1/(+\infty)=0$. La formule générale est $1/R=\limsup |a_n|^{1/n}$. La règle du quotient doit porter sur les coefficients de la série réellement écrite : des puissances $x^{2n}$ demandent de traiter les termes manquants ou de poser $u=x^2$.

Sur tout segment contenu dans $(-R,R)$, vous pouvez dériver ou intégrer terme à terme ; ces opérations conservent le rayon. Ainsi la dérivée de la somme géométrique donne $\sum_{n\geq1}nx^{n-1}=1/(1-x)^2$. Ce résultat vaut toujours seulement pour $|x|<1$. Une série de Taylor représente une fonction analytique, pas toute fonction indéfiniment dérivable sans hypothèse supplémentaire.

Étudiez $\sum_{n\geq1}x^n/(n2^n)$. Pour $a_n=1/(n2^n)$, on obtient $a_{n+1}/a_n=n/[2(n+1)]\to1/2$ ; le rayon est donc $2$.

Au bord droit $x=2$, la série devient $\sum1/n$, qui diverge. Au bord gauche $x=-2$, elle devient $\sum(-1)^n/n$, qui converge par le critère des séries alternées, sans convergence absolue. Le domaine réel est donc $[-2,2[$.

Pour $|x|<2$, l'intégration de la série géométrique donne $\sum_{n\geq1}(x/2)^n/n=-\ln(1-x/2)$. Contrôle : en $x=1$, la somme vaut $\ln2$ ; les premiers termes $1/2+1/8+1/24$ restent inférieurs à cette valeur positive. La formule intérieure ne dispense pas de la preuve aux bords.

La figure place le centre $0$, les deux bords $-2$ et $2$, et le domaine de l'exemple. Le point plein à gauche signifie que la série y converge ; le cercle vide à droite signifie qu'elle y diverge. Entre les deux, la convergence est absolue. Au point $-2$, elle est seulement conditionnelle.

Lisez le dessin en deux temps : le rayon donne une zone ouverte symétrique autour du centre ; l'étude numérique des deux séries de bord ajoute ou retire ensuite les extrémités indépendamment.