Séries numériques : converge, diverge, et pourquoi

Additionner une infinité de nombres n'a pas de sens en soi. Ce qu'on peut faire, c'est additionner les $N + 1$ premiers, puis regarder si ces totaux se stabilisent. C'est toute la définition.

Définition. Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ une suite réelle. La série de terme général $u_n$ est la suite des sommes partielles

On dit que la série converge si la suite $(S_N)$ a une limite finie $S$, qu'on appelle alors la somme de la série et qu'on note $S = \sum_{n \ge 0} u_n$. Sinon la série diverge. Le reste d'ordre $N$ d'une série convergente est $R_N = S - S_N = \sum_{n \ge N + 1} u_n$ ; il tend vers $0$.

Deux suites vivent donc côte à côte, et il ne faut jamais les confondre : la suite des termes $(u_n)$, et la suite des sommes partielles $(S_N)$. Dire seulement « la série tend vers 0 » est ambigu : la suite des sommes partielles peut effectivement tendre vers 0, mais cela n’est pas la même affirmation que $u_n\to0$ ; « le terme général tend vers $0$ » et « les sommes partielles tendent vers $S$ » sont deux phrases différentes.

La condition nécessaire. Si la série converge, alors $u_N = S_N - S_{N - 1} \to S - S = 0$ : le terme général tend vers $0$. La réciproque est fausse, et le contre-exemple est à connaître par cœur : la série harmonique $\sum \dfrac{1}{n}$ a un terme général qui tend vers $0$ et pourtant diverge. Preuve par paquets : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \ge \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$, puis $\dfrac{1}{5} + \dots + \dfrac{1}{8} \ge \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$, et chaque paquet suivant, de $2^{k - 1} + 1$ à $2^{k}$, pèse au moins $\dfrac{1}{2}$ : donc $H_{2^{k}} \ge 1 + \dfrac{k}{2}$, qui tend vers $+\infty$. Lentement — $H_{10} \approx 2{,}93$, $H_{1000} \approx 7{,}49$, $H_{10^{6}} \approx 14{,}39$ — mais sans borne.

Ce que la condition sert vraiment : à conclure vite à la divergence. Si $u_n$ ne tend pas vers $0$ (par exemple $u_n = \dfrac{n}{n + 1}$, ou $(-1)^n$), la série diverge, on dit « grossièrement ».

La série géométrique, référence n° 1. Pour $u_n = a\,q^{n}$ avec $q \ne 1$, la somme partielle est finie et connue depuis la première :

Si $\lvert q \rvert < 1$, $q^{N + 1} \to 0$ et la série converge vers $S = \dfrac{a}{1 - q}$ ; si $a\neq0$ et $\lvert q\rvert\geqslant1$, le terme général ne tend pas vers 0 et la série diverge. Si a=0, tous les termes sont nuls et la série converge pour toute raison ; pour q=0, le premier terme est a et les suivants sont nuls. Le reste est lui-même géométrique : $R_N = \dfrac{a\,q^{N + 1}}{1 - q}$. Exemple : $a = 3$, $q = \dfrac{2}{3}$ donne $S = \dfrac{3}{1/3} = 9$.

Les séries de Riemann, référence n° 2. Pour $u_n = \dfrac{1}{n^{\alpha}}$ ($n \ge 1$) :

$\sum \dfrac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Le cas $\alpha = 1$ est la série harmonique : il diverge. La frontière est stricte. La preuve compare la somme à une intégrale : pour $\alpha>1$ et $n\geqslant2$, $\dfrac{1}{n^{\alpha}}\leqslant\int_{n-1}^{n}t^{-\alpha}\,dt$, d'où $S_N \le 1 + \dfrac{1}{\alpha - 1}$, sommes partielles croissantes et majorées, donc convergentes. Pour $\alpha \le 1$, $\dfrac{1}{n^{\alpha}} \ge \dfrac{1}{n}$ et la comparaison à la série harmonique conclut. Pour $\alpha = 2$, la somme vaut $\dfrac{\pi^{2}}{6} \approx 1{,}645$ — résultat d'Euler, admis ici, que la comparaison ne donne pas.

Hors des deux familles de référence, on ne calcule presque jamais une somme. On décide de la nature en comparant à une référence. Tout repose sur un fait simple : pour une série à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissante, donc elle converge si et seulement si elle est majorée.

Théorème de comparaison (termes positifs). Si $0 \le u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang :

• si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge (les queues de u sont majorées par les queues de v ; les préfixes finis sont à ajouter séparément) ;
• si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge (contraposée).

Exemples : $\dfrac{1}{n^{2} + 1} \le \dfrac{1}{n^{2}}$, donc $\sum \dfrac{1}{n^{2} + 1}$ converge ; $\dfrac{1}{\sqrt{n}} \ge \dfrac{1}{n}$, donc $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ diverge (c'est aussi Riemann avec $\alpha = \dfrac{1}{2}$) ; $\dfrac{1}{n\,2^{n}} \le \dfrac{1}{2^{n}}$, donc $\sum \dfrac{1}{n\,2^{n}}$ converge.

Théorème d'équivalence (termes positifs). Si $u_n \sim v_n$ (leur quotient tend vers $1$) et $v_n>0$ à partir d’un certain rang, alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. C'est l'outil de tous les jours : on isole le terme dominant.

• $\dfrac{n}{n^{2} + 1} \sim \dfrac{1}{n}$ : diverge.
• $\dfrac{n + 1}{n^{3} - 2} \sim \dfrac{1}{n^{2}}$ : converge.
• $\ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n^{2}}\right) \sim \dfrac{1}{n^{2}}$ : converge.

La règle « $n^{\alpha}u_n$ », pour des termes positifs ou nuls à partir d’un certain rang. Si $n^{\alpha} u_n$ tend vers une limite finie pour un $\alpha > 1$, alors $u_n \le \dfrac{C}{n^{\alpha}}$ à partir d'un certain rang et $\sum u_n$ converge. Si $n\,u_n$ tend vers une limite strictement positive (ou $+\infty$), la série diverge. C'est la comparaison à Riemann, prête à l'emploi.

Le signe compte. Ces deux théorèmes supposent des termes positifs (ou de signe constant à partir d'un certain rang). Pour des termes de signe quelconque, une simple majoration $u_n\leqslant v_n$ ne suffit pas à conclure à la convergence : $u_n=-1\leqslant v_n=2^{-n}$ pour $n\geqslant1$. La série de v converge, mais les sommes partielles de u valent −N et divergent.

Convergence absolue. On dit que $\sum u_n$ converge absolument si $\sum \lvert u_n \rvert$ converge. Théorème : une série absolument convergente est convergente, et sa somme vérifie $\left\lvert \sum u_n \right\rvert \le \sum \lvert u_n \rvert$. C'est la porte d'entrée des séries à termes de signe quelconque : on étudie $\lvert u_n \rvert$, qui est positif, avec les critères ci-dessus. Ainsi $\sum \dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}$ converge absolument, donc converge. La réciproque est fausse : $\sum \dfrac{(-1)^{n + 1}}{n}$ converge (sa somme vaut $\ln 2 \approx 0{,}693$ — la convergence découle du critère des séries alternées ; la valeur ln2 est un résultat supplémentaire admis ici) sans converger absolument. On dit qu'elle est semi-convergente.

Séries télescopiques. Quand $u_n = v_n - v_{n + 1}$, la somme partielle se simplifie : $S_N = v_0 - v_{N + 1}$, et la série converge si et seulement si $(v_n)$ converge. Modèle : $\dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}$, d'où $\sum_{n \ge 1} \dfrac{1}{n(n + 1)} = 1$. C'est l'une des rares situations où l'on obtient la somme, et pas seulement la nature.

Ce qu'on n'a pas le droit de faire. Une série convergente n'est pas une somme finie. Séparer $\sum \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}\right)$ en $\sum \dfrac{1}{n} - \sum \dfrac{1}{n + 1}$ écrit « $\infty - \infty$ » et ne prouve rien. On travaille sur la somme partielle $S_N$, qui est finie, puis on passe à la limite.

Pour $n\geqslant1$, posons $u_n=1/(n(n+1)(n+2))$. Étudions la somme, une précision de troncature, puis la série dont les termes sont $nu_n$. Il s’agit de deux séries distinctes.

Décomposer avant de sommer. On vérifie par réduction au même dénominateur :

Les termes sont positifs. Dans la somme finie, chaque terme intermédiaire s’annule et il reste

Le dernier terme retranché tend vers zéro ; la série converge et sa somme vaut 1/4. La condition $u_n\to0$ est vérifiée, mais c’est ce calcul des sommes partielles qui prouve la convergence et la valeur.

Choisir un nombre de termes. Le reste vaut $R_N=1/[2(N+1)(N+2)]$. Pour $R_N\leqslant1/400$, il faut $(N+1)(N+2)\geqslant200$. À N=12, le produit vaut 182 ; à N=13, il vaut 210. Comme il augmente pour N positif ou nul, le premier rang satisfaisant est 13. Le reste y vaut 1/420, contre 1/364 au rang précédent.

Une autre somme après pondération. $nu_n=1/((n+1)(n+2))=1/(n+1)-1/(n+2)$. Les sommes partielles valent $1/2-1/(N+2)$, donc leur limite vaut 1/2. Multiplier chaque terme par n a changé la somme et exige une nouvelle justification ; on ne multiplie pas simplement la somme 1/4 par un « n infini ».

Interprétation facultative. Les nombres $p_n=4u_n$ sont positifs et de somme 1 : ils définissent une loi sur les entiers positifs. Son espérance vaut $\sum np_n=4\times1/2=2$. Cette lecture utilise la seconde série effectivement convergente, pas une moyenne obtenue en confondant termes et sommes.

Figure (fig.math.sequences-arithmetic-geometric, figure programmatique de la leçon de première sur les suites, réutilisée ici parce qu'elle contient déjà les deux comportements dont une série dépend) : trois panneaux.

• Panneau 1. Les points $(n\,;\,5 + 3n)$ pour $n = 0$ à $6$, alignés sur une droite, avec des marches d'escalier de hauteur constante $+3$. Ce sont les termes d'une suite arithmétique. Pour cette leçon : ces termes ne tendent pas vers $0$ — ils croissent. La série $\sum (5 + 3n)$ diverge grossièrement, et ses sommes partielles $5$, $13$, $24$, $38$, … explosent. Aucune somme n'est dessinée : il faut l'imaginer en empilant les hauteurs.
• Panneau 2. Les points de $v_n = 2 \times 1{,}5^{n}$, dont les marches grandissent (× $1{,}5$ à chaque pas) : encore une suite dont les termes ne tendent pas vers $0$, série divergente. Puis un insert : la suite $8 \times 0{,}5^{n}$, dont les points descendent et se rapprochent de l'axe sans le toucher. C'est le seul cas de la figure où une série peut converger : raison $0 < q < 1$, termes qui tendent vers $0$, et — ce que la figure ne dessine pas — sommes partielles $8$, $12$, $14$, $15$, $15{,}5$, … qui tendent vers $\dfrac{8}{1 - 0{,}5} = 16$. Le reste $R_N = 16 - S_N = 8 \times 0{,}5^{N}$ est la hauteur du prochain point, doublée.
• Panneau 3. Deux escaliers de six colonnes emboîtés en un rectangle $6 \times 7$ : $1 + 2 + \dots + 6 = 21$. Une somme finie, calculée par une astuce géométrique. Pour cette leçon, c'est le modèle de ce qu'est une somme partielle : un nombre fini, obtenu par un calcul exact — et la question de la série est ce que devient ce nombre quand le nombre de colonnes croît sans limite (ici, il diverge).

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : la suite des sommes partielles, qui est l'objet même de la leçon ; la série harmonique, dont les termes descendent vers $0$ comme l'insert mais dont les sommes ne sont pas majorées — c'est la différence entre $\dfrac{1}{n}$ et $0{,}5^{n}$, invisible sur les premiers points ; et les séries de Riemann, dont la frontière $\alpha = 1$ ne se voit sur aucun dessin de termes. La figure montre des termes ; la convergence d'une série est une propriété des sommes.