Monte-Carlo : estimation et erreur aléatoire

La méthode de Monte-Carlo estime une espérance par une moyenne d'observations simulées. Si les variables $Y_i$ sont indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance finie $\sigma^2$, la moyenne $\bar Y_n$ a pour espérance $\mu$ et pour variance $\sigma^2/n$. La loi des grands nombres justifie la convergence sous ses hypothèses.

L'erreur type est $\sigma/\sqrt n$, estimée par $s/\sqrt n$ lorsque la variance est inconnue. Elle décrit une dispersion de la moyenne, pas une borne certaine sur l'erreur observée. Un intervalle de confiance asymptotique emploie en plus une approximation normale et ses conditions. La qualité du générateur et l'indépendance des tirages sont des hypothèses, pas des conséquences du nombre de simulations.

On estime une espérance à partir de $n=10000$ valeurs indépendantes d'écart type connu 3. L'erreur type vaut $3/100=0{,}03$. Pour la diviser par deux, il faut quatre fois plus de tirages, soit 40000. Un intervalle normal approximatif à 95 % aurait une demi-largeur proche de $1{,}96\times0{,}03=0{,}0588$, sous les conditions d'approximation ; il ne garantit pas une erreur inférieure à $0{,}0588$ à chaque exécution.

Le tableau compare les tailles d'échantillon et leurs erreurs types. La racine carrée explique le coût : un facteur dix de précision demande cent fois plus de tirages pour une variance inchangée. Réduire la variance peut être plus efficace qu'augmenter seulement le nombre.