Solides, patrons et volumes

Une boîte est un objet de l’espace ; son dessin est une représentation plane. Un pavé droit possède six faces rectangulaires. Un cube est un pavé particulier dont les arêtes ont toutes la même longueur. Un prisme droit possède deux bases polygonales identiques et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires. Ses bases ne sont pas forcément celles qui paraissent en bas et en haut sur le dessin : on les reconnaît à leur rôle géométrique.

Un cylindre de révolution possède deux bases en forme de disque et une surface latérale courbe. Le dessin des bases en perspective ressemble souvent à une ellipse ; cela ne transforme pas les bases réelles en ovales. La hauteur du solide est la distance perpendiculaire entre les plans des bases.

Un patron représente une surface dépliée. Lorsqu’on le découpe et qu’on le replie, les faces doivent se rejoindre sans trou ni recouvrement intérieur.

Le volume mesure l’espace occupé. Un cube d’un centimètre d’arête définit un centimètre cube. Dans un pavé, une couche contient autant de petits cubes que l’aire de sa base exprimée en carrés unités ; empiler les couches conduit au produit aire de base × hauteur. La même formule vaut pour un prisme droit et un cylindre.

Les unités doivent être cohérentes. Une longueur de 1 dm vaut 10 cm, mais un cube de 1 dm de côté contient 10 × 10 × 10 = 1 000 cubes d’un centimètre de côté. Ainsi 1 dm³ = 1 000 cm³. La capacité d’un litre correspond à 1 dm³ ; un millilitre correspond à 1 cm³. On utilise les dimensions intérieures pour la capacité d’un récipient.

L’aire d’un disque de rayon r est πr². Son périmètre est 2πr : ces deux expressions ne mesurent pas la même grandeur. L’une sert de base au volume du cylindre, l’autre donne la longueur du rectangle de son patron.

La base triangulaire d’un prisme droit a une base de 6 cm et une hauteur correspondante de 4 cm. Son aire vaut 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm². Le prisme mesure 9 cm entre ses deux bases : son volume vaut 12 × 9 = 108 cm³. Les deux hauteurs, 4 cm dans le triangle et 9 cm dans le solide, ont des rôles différents.

Un récipient cylindrique de rayon intérieur 3 cm et de hauteur intérieure 10 cm a pour capacité 90π cm³. Avec π ≈ 3,14, on trouve 282,6 cm³, soit 282,6 mL. C’est une valeur approchée, car on a remplacé π par une approximation.

Pour fabriquer sa surface latérale sans épaisseur ni languettes, le rectangle du patron mesure 10 cm sur 6π cm. Il faut y joindre deux disques de rayon 3 cm.

La figure associe un cylindre à son patron. Les deux disques gardent leur rayon ; le bord courbe latéral se déroule en rectangle. Une largeur égale au diamètre ne suffit pas à entourer tout le disque : il faut la circonférence.

Fabrique un patron de pavé de dimensions 3 cm, 4 cm et 5 cm. Dresse d’abord la liste des faces : deux rectangles 3 × 4, deux 3 × 5 et deux 4 × 5. Ajoute des languettes uniquement pour le collage et signale qu’elles n’appartiennent pas aux faces géométriques. Vérifie au pliage que chaque arête rencontre une arête de même longueur.