Suites récurrentes et point fixe

Une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ est définie par une valeur initiale et une règle d'itération. Pour qu'elle existe à tout rang, ses termes doivent rester dans le domaine de $f$. Si elle converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell=f(\ell)$ : sa limite est un point fixe. Cette condition nécessaire ne prouve pas la convergence.

Pour une récurrence affine $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\ne1$, le point fixe est $\ell=b/(1-a)$. La différence $v_n=u_n-\ell$ est géométrique : $v_{n+1}=av_n$. Si $|a|<1$, elle tend vers zéro pour tout départ réel. Pour une fonction non affine, un intervalle stable et une contraction ou une étude de monotonie peuvent fournir la preuve.

Prenez $u_{n+1}=\frac12u_n+3$ avec $u_0=2$. Le point fixe vaut 6. On obtient $u_n-6=(1/2)^n(2-6)$, donc $u_n=6-4/2^n$. Les premiers termes sont $2,4,5,5{,}5$ ; ils sont inférieurs à 6 et croissants. L'erreur après dix itérations vaut $4/2^{10}=1/256$, ce qui donne une borne exacte plutôt qu'une impression graphique.

Le tableau met face à face les termes et leur distance au point fixe. La distance est divisée par deux à chaque étape ; c'est cette relation qui explique la convergence. Les valeurs approchées ne servent qu'à illustrer la formule démontrée.