Convergences simple et uniforme

Une suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $E$ lorsque, pour chaque $x$ fixé, $f_n(x)\to f(x)$. Elle converge uniformément lorsque $\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to0$. Dans le premier cas, le rang de précision peut dépendre du point ; dans le second, un même rang convient à tous les points du domaine.

La convergence uniforme conserve notamment la continuité de la limite lorsque toutes les fonctions sont continues. Pour permuter limite et intégrale sur un segment, elle fournit une condition suffisante avec des fonctions intégrables. En revanche, les limites de dérivées demandent des hypothèses supplémentaires. La convergence uniforme dépend du domaine : un résultat sur tout compact n'est pas forcément valable sur l'espace entier.

Pour $f_n(x)=x^n$ sur $[0,1]$, la limite simple vaut zéro pour $x<1$ et un pour $x=1$. Cette limite est discontinue ; la convergence ne peut donc pas être uniforme. Directement, le supremum de $|f_n-f|$ sur $[0,1]$ vaut 1, même si cette valeur n'est pas atteinte. Sur $[0,a]$ avec $0\le a<1$, le supremum vaut $a^n\to0$ : la convergence vers zéro y est uniforme.

La figure juxtapose le domaine entier et un segment éloigné de 1. Le supremum sur le premier reste 1 car on peut choisir un point dépendant de $n$ très proche de 1. Sur le second, le bord fixe $0\le a<1$ contrôle toutes les valeurs.