Symétrie axiale : construire l’image d’un point

Imagine plier une feuille suivant une droite d. Deux points qui se superposent sont symétriques par rapport à d. Si A n’est pas sur l’axe et A′ est son image, d est la médiatrice du segment AA′ : elle le coupe à angle droit en son milieu H.

Cela donne une méthode précise : les points sont de part et d’autre de l’axe, leurs distances à H sont égales, et AA′ est perpendiculaire à d. Un point situé sur l’axe reste à sa place : son image est lui-même.

Sur un quadrillage avec un axe vertical, conserve la hauteur et reporte le même nombre de carreaux de l’autre côté de l’axe. Avec un axe horizontal, conserve l’alignement vertical. Si l’axe est oblique, ne compte pas simplement les carreaux horizontalement : reviens à la définition par perpendicularité et milieu.

Sur une feuille unie, trace la perpendiculaire à d passant par A. Elle coupe d en H. Reporte HA de l’autre côté de d pour placer A′. Pour une figure, construis les images de ses sommets, puis relie-les dans le même ordre.

La symétrie conserve les longueurs, les mesures d’angles et l’alignement. Elle retourne l’orientation de la figure comme un reflet.

Une droite est un axe de symétrie d’une figure si le reflet de toute la figure dans cette droite se superpose à la figure initiale. Passer par le centre ne suffit pas. Une figure peut avoir plusieurs axes, un seul ou aucun. Il faut examiner tous ses points et ses côtés, pas seulement deux sommets.

A est à 2,5 cm de H sur une perpendiculaire à l’axe. Son image A′ est à 2,5 cm de H de l’autre côté. Donc AA′ = 2,5 + 2,5 = 5 cm. La distance au pli n’est que la moitié de la distance entre les points.

Si B est un autre point et AB = 4,2 cm, le segment image A′B′ mesure aussi 4,2 cm. Cette conservation ne dépend pas de la position de l’axe.

Pour contrôler une construction, vérifie que l’axe coupe chaque segment point-image en son milieu et lui est perpendiculaire.

Un carré a quatre axes : ses deux diagonales et les deux droites passant par les milieux de côtés opposés. Un rectangle non carré n’en a que deux : les droites passant par les milieux de côtés opposés. Ses diagonales ne sont pas des axes, car un pli suivant une diagonale ne superpose pas les côtés de longueurs différentes. Un triangle équilatéral a trois axes, chacun passant par un sommet et le milieu du côté opposé ; un triangle isocèle non équilatéral n’en a qu’un.

La figure montre deux triangles dont les sommets correspondants sont disposés symétriquement autour d’un axe vertical. Les segments point-image sont horizontaux ; ils sont donc perpendiculaires à l’axe. L’axe passe au milieu de chacun.

Les traits en pointillés relient A à A′, B à B′ et C à C′. Les lettres et l’axe permettent de comprendre la correspondance sans utiliser les couleurs. Les deux triangles ont les mêmes longueurs et les mêmes angles, mais leur orientation est inversée : on ne les obtient pas par un simple glissement.