Thalès : calculer et démontrer dans des triangles emboîtés

Une traverse relie les deux côtés d’une armature triangulaire. Si elle est parallèle à la base, le petit triangle situé au sommet conserve les mêmes proportions que le grand. Le théorème de Thalès permet de transformer cette information géométrique en égalités de rapports, puis de calculer une longueur inaccessible directement.

Considère un triangle ABC non aplati. M est un point du segment [AB], distinct de A et B ; N appartient de même à [AC]. Les triangles AMN et ABC sont emboîtés : ils ont le sommet A en commun, et les autres sommets du petit triangle sont sur les côtés du grand. Pour appliquer le théorème, il faut aussi savoir que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Une impression visuelle ne suffit pas. Cherche dans l’énoncé les appartenances aux segments et le parallélisme, ou des propriétés qui les prouvent. Dans ce cours, les points restent à l’intérieur des côtés : les configurations en papillon relèvent d’un autre apprentissage. Le petit triangle peut être incliné ou dessiné à droite ; l’orientation de la feuille ne change pas le raisonnement.

Les sommets se correspondent ainsi : A avec A, M avec B, N avec C. Les côtés correspondants sont donc AM et AB, AN et AC, MN et BC. En écrivant à chaque fois petit côté sur grand côté, on obtient AM/AB = AN/AC = MN/BC. On pourrait inverser les trois rapports ensemble, mais pas un seul au milieu des autres.

Le rapport commun est compris strictement entre zéro et un dans notre configuration intérieure. Une longueur du petit triangle doit donc être plus petite que la longueur correspondante du grand. Ce contrôle ne prouve pas le résultat, mais aide à repérer un produit ou un quotient inversé.

Le théorème direct part du parallélisme et donne les rapports égaux. Sa réciproque répond à une autre question : comment prouver le parallélisme ? Lorsque M appartient à [AB] et N à [AC], avec les points intérieurs comme ici, l’égalité AM/AB = AN/AC permet de conclure que (MN) et (BC) sont parallèles. On vérifie une égalité exacte, par simplification ou par produits en croix.

Si ces deux rapports sont différents, les droites ne peuvent pas être parallèles : sinon le théorème direct imposerait leur égalité. Ce dernier raisonnement utilise une contradiction avec le théorème, et non sa réciproque. Dans tous les cas, distingue clairement ce que l’on sait au départ et ce que l’on cherche à démontrer.

On sait que M appartient à [AB], N à [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Les longueurs sont AM = 6 cm, MB = 4 cm et AC = 15 cm. On cherche AN.

1. Le grand côté n’est pas MB : comme M est entre A et B, AB = AM + MB = 10 cm.
2. Les conditions de Thalès sont réunies. On écrit AM/AB = AN/AC, donc 6/10 = AN/15.
3. On calcule AN = 15 × 6 ÷ 10 = 9 cm.
4. Le résultat est cohérent : AN est inférieur à AC. La partie restante vaut NC = 15 − 9 = 6 cm.

Pour vérifier un parallélisme dans un autre triangle, supposons AM = 6 cm, AB = 10 cm, AN = 9 cm, AC = 15 cm et les mêmes appartenances. Les produits 6 × 15 et 9 × 10 valent tous deux 90. Les rapports sont égaux ; la réciproque permet alors de conclure.

Sur le schéma, A est le sommet commun. Suis le côté gauche depuis A : tu rencontres M puis B ; sur le côté droit, N puis C. Les segments [MN] et [BC] sont horizontaux et parallèles. La figure représente un rapport de réduction de trois cinquièmes, mais les valeurs d’un autre exercice devront être lues dans son énoncé.

Recopie une figure à main levée et relie mentalement chaque petit côté à son grand côté correspondant. Ce dessin sert à organiser les données ; une mesure à la règle sur une illustration ne remplace jamais une justification.