Cauchy-Lipschitz et solutions maximales

Pour $y'=f(t,y)$ avec donnée $y(t_0)=y_0$, le théorème de Cauchy-Lipschitz assure une solution locale unique si $f$ est continue et localement lipschitzienne en la variable d'état. Une dérivée partielle en $y$ continue fournit une condition suffisante. « Locale » signifie sur un intervalle autour de $t_0$, pas nécessairement sur toute la droite.

La solution maximale est celle qu'on ne peut prolonger davantage dans le domaine de l'équation. Une singularité du champ ou une explosion de la solution peut limiter cet intervalle. Un champ globalement lipschitzien en l'état avec les hypothèses usuelles de continuité sur tout le temps donne une situation plus favorable qu'une seule régularité locale.

Résolvez $y'=y^2$ avec $y(0)=2$. La séparation donne $y(t)=2/(1-2t)$. La solution est définie sur l'intervalle maximal contenant zéro $]-\infty,1/2[$. Lorsque $t$ approche $1/2$ par la gauche, elle tend vers l'infini. Pourtant le champ $y^2$ est lisse partout : la régularité locale ne garantit pas l'existence globale. La même formule après $1/2$ n'est pas un prolongement continu à travers l'explosion.

Le tableau indique la donnée initiale, le dénominateur et la borne de temps. Le domaine de la formule a deux composantes ; seule celle qui contient l'instant initial correspond au problème posé. L'autre branche n'est pas raccordable au même état initial.