Classes, quotients et théorème de Lagrange

Pour un sous-groupe $H$ de $G$, les classes à gauche $gH$ partitionnent le groupe et ont toutes le même cardinal que $H$. Dans un groupe fini, le théorème de Lagrange donne $|G|=[G:H]|H|$. L'indice compte les classes ; il ne désigne pas un élément du groupe.

Pour que l'ensemble des classes porte une loi quotient compatible avec celle de $G$, il faut que $H$ soit distingué. Tout sous-groupe d'un groupe abélien l'est, mais pas tout sous-groupe d'un groupe arbitraire. Lagrange impose une divisibilité des cardinaux ; il n'assure pas qu'un sous-groupe existe pour chaque diviseur.

Dans le groupe additif $G=\mathbb Z/24\mathbb Z$, soit $H$ engendré par la classe de 6. Les éléments sont $0,6,12,18$, donc $|H|=4$. Le groupe étant abélien, le quotient est défini. Son cardinal vaut $24/4=6$. Ses six classes peuvent être représentées par $0,1,2,3,4,5$ ; chaque classe comporte quatre éléments.

Le tableau rappelle le groupe G, les quatre éléments du sous-groupe H et le calcul du cardinal du quotient. Il ne dessine pas les six classes distinctes. Pour les représenter, écrivez les ensembles a+H pour a de 0 à 5 ; chacun contient quatre éléments, mais constitue un seul élément du quotient.