Théorème de Rolle et accroissements finis

En terminale, vous avez lu le sens de variation d'une fonction sur le signe de sa dérivée, en l'admettant. Ce chapitre le démontre, et la démonstration tient en trois théorèmes emboîtés : un extremum intérieur annule la dérivée ; donc une fonction qui reprend la même valeur a une tangente horizontale (Rolle) ; donc toute pente moyenne est une pente instantanée (accroissements finis).

Extremum intérieur. Si $f$ est dérivable en un point $c$ intérieur à l'intervalle $I$ et si $f$ admet en $c$ un extremum local, alors $f'(c) = 0$. Preuve : à un maximum, le taux $\dfrac{f(c + h) - f(c)}{h}$ est négatif ou nul pour $h > 0$ et positif ou nul pour $h < 0$ ; sa limite est donc à la fois $\le 0$ et $\ge 0$. Le mot « intérieur » est essentiel : $x \mapsto x$ sur $[0\,;\,1]$ est maximale en $1$ et sa dérivée y vaut $1$. La réciproque est fausse : $x \mapsto x^{3}$ a une dérivée nulle en $0$ sans extremum.

Théorème de Rolle. Soit $f$ continue sur le segment fermé $[a\,;\,b]$, dérivable sur l'intervalle ouvert $]a\,;\,b[$, avec $f(a) = f(b)$. Alors il existe $c \in \left]a\,;\,b\right[$ tel que $f'(c) = 0$. Preuve : $f$ continue sur un segment atteint son maximum et son minimum ; s'ils sont tous deux atteints aux bornes, $f$ est constante ; sinon l'un est intérieur et l'extremum intérieur conclut.

Trois hypothèses, et chacune se vérifie :

• l'égalité $f(a) = f(b)$ se calcule, elle ne se suppose pas ;
• la continuité porte sur le fermé : sans elle aux bornes, $x \mapsto x$ sur $[0\,;\,1[$ prolongée par $f(1) = 0$ n'a aucune tangente horizontale ;
• la dérivabilité n'est exigée que sur l'ouvert : $x \mapsto \sqrt{x(1 - x)}$ n'est pas dérivable en $0$ ni en $1$, et le théorème s'applique quand même (le point est $c = \dfrac{1}{2}$).

Égalité des accroissements finis. Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ et dérivable sur $]a\,;\,b[$. Alors il existe $c \in \left]a\,;\,b\right[$ tel que

Preuve : on applique Rolle à $g(x) = f(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\,(x - a)$, qui vérifie $g(a) = g(b) = f(a)$. Lecture géométrique : il existe une tangente parallèle à la corde qui joint les extrémités. Lecture cinématique : sur un trajet, la vitesse instantanée prend au moins une fois la valeur de la vitesse moyenne.

Le théorème affirme l'existence d'au moins un $c$ : il ne dit ni qu'il est unique, ni comment le trouver. Pour $f(x) = x^{3} - 4x$ sur $[-2\,;\,2]$, $f(-2) = f(2) = 0$ et $f'(x) = 3x^{2} - 4$ s'annule en deux points de l'intervalle, $\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}155$.

Inégalité des accroissements finis. Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$, dérivable sur $]a\,;\,b[$, et si $\lvert f'(x) \rvert \le M$ pour tout $x \in \left]a\,;\,b\right[$, alors

C'est l'égalité dont on ne garde qu'une majoration — et c'est la forme qui survit quand l'égalité tombe : pour une fonction à valeurs complexes ou vectorielles, il n'existe en général aucun $c$ qui réalise l'égalité (pour $t \mapsto e^{it}$ sur $[0\,;\,2\pi]$, l'accroissement est nul alors que la dérivée est de module $1$ partout), mais l'inégalité reste vraie. Une fonction dont la dérivée est bornée par $M$ est dite $M$-lipschitzienne : $\lvert f(x) - f(y) \rvert \le M\,\lvert x - y \rvert$.

Exemples : $\lvert \sin x - \sin y \rvert \le \lvert x - y \rvert$ pour tous réels, puisque $\lvert \cos \rvert \le 1$ ; et, pour $x > 0$, $\ln(1 + x) \le x$, car $\ln(1 + x) - \ln 1 = \dfrac{x}{1 + c}$ avec $c \in \left]0\,;\,x\right[$.

Encadrer sans calculatrice. Avec $f = \sqrt{\cdot}$ sur $[100\,;\,101]$ : $\sqrt{101} - 10 = \dfrac{1}{2\sqrt{c}}$ pour un $c \in \left]100\,;\,101\right[$, d'où

La valeur réelle, $0{,}049\,876$, est bien dans la fourchette $\left]0{,}049\,75\,;\,0{,}05\right[$.

Monotonie et signe de la dérivée (sur un intervalle $I$, $f$ dérivable) :

• $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f' \ge 0$ sur $I$ ;
• $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f' = 0$ sur $I$ ;
• si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante.

La troisième n'est pas une équivalence : $x \mapsto x^{3}$ est strictement croissante et $f'(0) = 0$. Une dérivée positive ou nulle donne une croissance au sens large ; pour la croissance stricte, il suffit que $f' > 0$, ou que $f' \ge 0$ ne s'annule qu'en des points isolés (la condition nécessaire et suffisante : $f' \ge 0$ et l'ensemble des zéros de $f'$ ne contient aucun intervalle non réduit à un point). Le mot « intervalle » compte aussi : $x \mapsto -\dfrac{1}{x}$ a une dérivée strictement positive sur $\mathbb{R}^{*}$ et n'y est pas croissante ($-\dfrac{1}{-1} = 1 > -1 = -\dfrac{1}{1}$).

Théorème de la limite de la dérivée. Si $f$ est continue sur $I$, dérivable sur $I \setminus \{a\}$, et si $f'(x)$ tend vers un réel $\ell$ quand $x \to a$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$ ($f'$ est même continue en $a$). Preuve : accroissements finis entre $a$ et $x$, le point intermédiaire tend vers $a$. Exemple : $f(x) = x\,\lvert x \rvert$ a pour dérivée $2\lvert x \rvert$ hors de $0$, qui tend vers $0$ : donc $f'(0) = 0$. Attention, le théorème donne une condition suffisante : si $f'$ n'a pas de limite en $a$, on ne peut rien conclure, et il faut revenir au taux d'accroissement.

Énoncé.

1. Soit $f(x) = x^{3}$. Justifier qu'il existe $c \in \left]0\,;\,3\right[$ tel que $f(3) - f(0) = 3\,f'(c)$, puis calculer $c$ (trois chiffres significatifs). Est-il unique ?
2. Soit $g(x) = x^{3} - 4x$. Montrer que le théorème de Rolle s'applique à $g$ sur $[-2\,;\,2]$ et déterminer tous les points qu'il fournit.
3. Montrer que pour tout $x > 0$, $\dfrac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x$.

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1. Hypothèses, puis calcul. $f$ est polynomiale : continue sur le fermé $[0\,;\,3]$, dérivable sur l'ouvert $]0\,;\,3[$ (et même sur $\mathbb{R}$). L'égalité des accroissements finis donne l'existence de $c$. Taux d'accroissement : $\dfrac{27 - 0}{3 - 0} = 9$. Comme $f'(c) = 3c^{2}$, il faut $3c^{2} = 9$, soit $c^{2} = 3$ ; $c$ étant positif,

Unicité : $f'(x) = 3x^{2}$ est strictement croissante sur $]0\,;\,3[$, donc ne prend qu'une fois la valeur $9$. C'est cette propriété, propre à l'exemple, qui rend $c$ unique et calculable — pas le théorème.

2. Rolle, vérifié. $g$ est polynomiale, donc continue sur $[-2\,;\,2]$ et dérivable sur $]-2\,;\,2[$. On calcule les valeurs aux bornes : $g(-2) = -8 + 8 = 0$ et $g(2) = 8 - 8 = 0$. Rolle s'applique. Puis $g'(x) = 3x^{2} - 4 = 0$ donne $x = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}155$ : deux points de l'intervalle ouvert. Le théorème en promettait au moins un ; il y en a deux, et rien ne permettait de le prévoir avant le calcul.

3. Inégalité par l'égalité. Pour $x > 0$, $\ln$ est continue sur $[1\,;\,1 + x]$ et dérivable sur l'ouvert : il existe $c \in \left]1\,;\,1 + x\right[$ tel que

Comme $1 < c < 1 + x$, on a $\dfrac{x}{1 + x} < \dfrac{x}{c} < x$, ce qui est l'encadrement voulu. Les inégalités sont strictes parce que $c$ est strictement intérieur. Contrôle numérique pour $x = 1$ : $0{,}5 < \ln 2 \approx 0{,}693 < 1$. $\checkmark$

Lecture. Vérifier les hypothèses (continuité sur le fermé, dérivabilité sur l'ouvert, et pour Rolle l'égalité calculée aux bornes), écrire l'égalité, puis exploiter soit le calcul de $c$ quand $f'$ est strictement monotone, soit l'encadrement de $c$ dans l'intervalle.

Figure (fig.math.secant-to-tangent, figure programmatique de la leçon de première sur le nombre dérivé, réutilisée ici parce qu'elle dessine des cordes d'une parabole et une tangente) : trois panneaux.

• Panneau 1. La parabole de $f(x) = x^{2} - 3x + 1$, le point $A(2\,;\,-1)$, trois sécantes issues de $A$ : vers $M(4\,;\,5)$, pente $3$ ; vers $(3\,;\,1)$, pente $2$ ; vers $(2{,}5\,;\,-0{,}25)$, pente $1{,}5$ ; puis la tangente en $A$, de pente $1$. Pour cette leçon, lisez chaque sécante comme une corde et cherchez la tangente qui lui est parallèle. Pour la corde de $[2\,;\,4]$, de pente $3$, l'égalité des accroissements finis promet un $c \in \left]2\,;\,4\right[$ avec $f'(c) = 2c - 3 = 3$ : c'est $c = 3$, le milieu. Pour la corde de $[2\,;\,3]$, de pente $2$ : $2c - 3 = 2$, $c = 2{,}5$, encore le milieu. Pour une parabole, le point des accroissements finis est toujours le milieu du segment ; pour $x^{3}$ sur $[0\,;\,3]$ (exemple guidé), il est en $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, à droite du milieu $1{,}5$.
• Panneau 2. Le zoom où courbe et tangente se confondent : c'est l'approximation affine locale, dont l'inégalité des accroissements finis donne la version globale — l'écart entre $f(b)$ et $f(a)$ ne dépasse jamais $M\,\lvert b - a \rvert$.
• Panneau 3. La valeur absolue, sans dérivée en $0$. Pour cette leçon : sur $[-1\,;\,1]$, $\lvert x \rvert$ prend la même valeur aux deux bornes, mais aucune tangente n'est horizontale. Rolle ne s'applique pas, parce que la dérivabilité sur l'ouvert $]-1\,;\,1[$ manque en $0$. Le contre-exemple est là, dessiné.

Ce que la figure ne montre pas : un intervalle où la corde a plusieurs tangentes parallèles (le cas de $x^{3} - 4x$), et la dérivée elle-même, dont c'est la monotonie stricte qui garantit l'unicité du point.