Passer une limite sous l’intégrale

Une limite de fonctions ne passe pas automatiquement sous le signe intégral. Le théorème de convergence dominée fournit une condition : si $f_n\to f$ presque partout et si $|f_n|\le g$ avec $g$ intégrable indépendamment de $n$, alors $f$ est intégrable et $\int f_n\to\int f$. La domination concerne toute la suite, pas un majorant différent sans contrôle pour chaque rang.

La convergence monotone concerne les suites de fonctions mesurables positives croissantes : l'intégrale de la limite est la limite des intégrales, éventuellement infinie. Le lemme de Fatou donne pour des fonctions positives une inégalité sur le liminf. Ces trois outils ont des hypothèses différentes ; on ne doit pas présenter une conclusion de convergence dominée sans fournir le dominateur intégrable.

Sur $[0,1]$, prenez $f_n(x)=x^n$. La suite tend vers zéro sauf en 1, ensemble de mesure nulle. On a $0\le f_n\le1$, avec le dominateur 1 intégrable. Donc $\int_0^1x^n dx\to0$, confirmé par la valeur $1/(n+1)$. En revanche, $h_n(x)=n\mathbf1_{]0,1/n[}(x)$ tend vers zéro partout sur $[0,1]$ avec cette définition, tandis que son intégrale reste 1 : une domination intégrable commune ne peut pas exister.

Le tableau oppose une suite dominée et une concentration de masse près de zéro. La hauteur de $h_n$ augmente alors que sa largeur diminue ; leur produit reste un. Une limite ponctuelle ne voit pas cette aire concentrée dans une zone mobile.