Trigonométrie du triangle rectangle : un angle, trois rapports

Dans un triangle rectangle, tu connais déjà un outil : le théorème de Pythagore, qui relie les trois longueurs. Mais il ne dit rien des angles. Si on te donne une longueur et un angle, Pythagore est muet. La trigonométrie répond exactement à ce manque.

Premier réflexe : nommer les côtés. Dans un triangle rectangle, un côté a un nom absolu, les deux autres ont un nom relatif à l'angle que l'on choisit.

• L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le plus long, et son nom ne change jamais.
• Les deux autres côtés ne se nomment qu'une fois choisi l'un des deux angles aigus ; appelons-le $\theta$.
• Le côté opposé à $\theta$ est celui qui lui fait face, celui qui ne le touche pas.
• Le côté adjacent à $\theta$ est celui qui le touche, sans être l'hypoténuse.

Change d'angle, et les deux derniers noms s'échangent. C'est la source d'erreur numéro un : les côtés n'ont pas de nom en eux-mêmes, ils en ont un par rapport à l'angle utilisé.

Le mécanisme : pourquoi trois nombres suffisent. Dessine deux triangles rectangles ayant le même angle aigu $\theta$, l'un petit, l'autre deux fois plus grand. Ils ont exactement la même forme : le grand est un agrandissement du petit. D'après le théorème de Thalès, toutes leurs longueurs sont dans le même rapport. Donc, si tu divises le côté opposé par l'hypoténuse, tu trouves le même résultat dans les deux triangles.

Le rapport de deux côtés d'un triangle rectangle ne dépend pas de la taille du triangle : il ne dépend que de l'angle.

C'est cette découverte qui rend la trigonométrie possible. À chaque angle aigu correspondent trois nombres, toujours les mêmes, que la calculatrice connaît :

Le moyen mnémotechnique classique se lit en trois blocs : SOH — CAH — TOA. Sinus = Opposé sur Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ; Tangente = Opposé sur Adjacent.

Choisir le rapport, méthode en deux temps. Écris ce que tu connais et ce que tu cherches, puis prends le rapport qui contient exactement ces deux côtés-là.

Retrouver un angle. Quand on connaît le rapport et qu'on cherche l'angle, on utilise les touches inverses de la calculatrice, notées $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$ (parfois acos, asin, atan, ou obtenues avec la touche « seconde »). Elles font le chemin retour : de $0{,}5$ vers $60^\circ$, par exemple.

Deux garde-fous à retenir par cœur. L'hypoténuse est le côté le plus long, donc le numérateur d'un cosinus ou d'un sinus est toujours plus petit que son dénominateur :

Si ta calculatrice affiche $\cos(\theta) = 1{,}4$ ou une valeur négative, l'erreur est certaine — pas la peine d'aller plus loin. La tangente, elle, n'est pas bornée : elle vaut $1$ à $45^\circ$, dépasse $1$ au-delà, et devient très grande près de $90^\circ$.

Le mode de la calculatrice. La trigonométrie du collège se fait en degrés. Ta calculatrice doit afficher DEG (ou D), pas RAD ni GRA. Le test qui prend trois secondes : tape $\cos(60)$. Tu dois lire exactement $0{,}5$. Si tu lis $-0{,}952$, tu es en radians.

Un contrôle par Pythagore. Quand tu as calculé deux côtés d'un triangle rectangle par la trigonométrie, tu peux les vérifier avec le troisième :

C'est une vérification indépendante, qui n'utilise ni sinus ni cosinus : elle attrape les confusions de côtés.

Une remarque utile (pas une formule à apprendre). Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme $90^\circ$. Et comme les rôles « opposé » et « adjacent » s'échangent quand on passe de l'un à l'autre, le cosinus de l'un est le sinus de l'autre. Si tu trouves $\sin(35^\circ) \approx 0{,}574$ et $\cos(55^\circ) \approx 0{,}574$, tout va bien.

Ce qui n'est pas au programme du collège. Le cercle trigonométrique et les radians, la relation $\cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1$, la relation $\tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$, et les triangles quelconques (loi des sinus, loi des cosinus). Tu verras tout cela au lycée. En 3e, la trigonométrie ne s'utilise que dans un triangle rectangle. Si la figure n'en contient pas, il faut d'abord en fabriquer un, par exemple en traçant une hauteur.

Énoncé. Une échelle de $5{,}00$ m de long est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle de $65^\circ$ avec le sol horizontal. À quelle hauteur son sommet touche-t-il le mur ? À quelle distance du mur son pied se trouve-t-il ? Donner les résultats en mètres, avec trois chiffres significatifs.

1. Repérer le triangle rectangle. Le mur est vertical, le sol est horizontal : ils se coupent à angle droit. Le mur, le sol et l'échelle forment donc un triangle rectangle, dont l'angle droit est au bas du mur.

2. Nommer les trois côtés par rapport à l'angle de $65^\circ$, qui se trouve au pied de l'échelle.

• L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est l'échelle, $5{,}00$ m. (Erreur classique : prendre le mur, parce qu'il est « en face ». Le mur fait face à l'angle de $65^\circ$, pas à l'angle droit.)
• Le côté opposé à l'angle de $65^\circ$ est la hauteur atteinte sur le mur : c'est la première inconnue.
• Le côté adjacent est la distance du pied de l'échelle au mur, sur le sol : c'est la seconde inconnue.

3. Calculer la hauteur. On connaît l'hypoténuse, on cherche l'opposé : c'est le sinus qui les relie.

Calculatrice en mode degrés : $\sin(65^\circ) \approx 0{,}9063$, donc

4. Calculer la distance au mur. On connaît l'hypoténuse, on cherche l'adjacent : c'est le cosinus.

5. Vérifier par Pythagore. Les deux résultats doivent redonner la longueur de l'échelle :

Les deux nombres coïncident à l'arrondi près — le petit écart vient des valeurs arrondies à trois chiffres, pas d'une erreur. Cette vérification est indépendante du choix des rapports : c'est elle qui détecte une confusion entre opposé et adjacent.

6. Contrôler la vraisemblance. Les deux longueurs trouvées sont plus petites que l'échelle : normal, l'hypoténuse est le plus long côté. Et $4{,}53 > 2{,}11$ : normal aussi, puisque $65^\circ$ est supérieur à $45^\circ$, l'échelle est plutôt dressée que couchée. Si tu avais trouvé une distance au mur de $4{,}53$ m et une hauteur de $2{,}11$ m, ce serait le signe d'une inversion opposé/adjacent.

7. Et si l'on cherchait l'angle ? Supposons maintenant que l'on mesure directement la hauteur, $4{,}53$ m, et la distance au mur, $2{,}11$ m, sans connaître l'angle. On connaît l'opposé et l'adjacent : c'est la tangente.

On retombe sur l'angle de départ : la boucle est bouclée.

Figure (fig.math.right-triangle-sides, SVG programmatique à produire) : trois panneaux — le vocabulaire des côtés, l'invariance du rapport avec la taille, et la situation de l'exemple.

• Panneau de gauche — nommer les côtés. Un triangle rectangle $ABC$, l'angle droit en $B$ (en bas à gauche), marqué par le petit carré habituel. L'angle aigu en $A$ (en bas à droite) est marqué par un arc et étiqueté $\theta$. Les trois côtés portent chacun un tracé distinct, pour être reconnaissables sans la couleur :
• $[AC]$, l'hypoténuse, en trait plein épais, étiquetée « hypoténuse — en face de l'angle droit, la plus longue » ;
• $[BC]$, le côté opposé à $\theta$, en trait tireté, étiqueté « opposé à $\theta$ — il ne touche pas $\theta$ » ;
• $[AB]$, le côté adjacent à $\theta$, en trait pointillé, étiqueté « adjacent à $\theta$ — il touche $\theta$ ».
• Toujours dans le panneau de gauche, un second arc, plus pâle, marque l'angle en $C$, avec la mention « depuis cet angle-là, opposé et adjacent s'échangent ».
• Panneau du milieu — le rapport ne dépend pas de la taille. Deux triangles rectangles emboîtés, de même angle $\theta$ au sommet commun, l'un ayant des côtés deux fois plus grands que l'autre. Sous chacun, le calcul du même rapport : $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ pour le petit, $\dfrac{6}{10} = 0{,}6$ pour le grand, avec la conclusion « même angle, même rapport ».
• Panneau de droite — l'échelle. Un mur vertical à droite, un sol horizontal en bas, l'angle droit entre eux marqué d'un petit carré. L'échelle est un segment oblique allant du sol au mur, coté $5{,}00$ m. L'angle avec le sol est marqué d'un arc et coté $65^\circ$. La hauteur sur le mur est cotée par une double flèche verticale portant $4{,}53$ m ; la distance du pied au mur par une double flèche horizontale portant $2{,}11$ m. Sous la figure, les deux relations utilisées : hauteur $= 5{,}00 \times \sin(65^\circ)$ et distance $= 5{,}00 \times \cos(65^\circ)$.

Ce qu'il faut lire. Le panneau de gauche montre que « opposé » et « adjacent » sont des rôles, pas des noms de côtés : le second arc suffit à les échanger. Le panneau du milieu montre pourquoi la calculatrice peut connaître ces nombres une fois pour toutes : le rapport ne dépend que de l'angle, jamais de la taille du triangle. Le panneau de droite montre le cas concret le plus fréquent, et la position exacte de l'angle droit — au bas du mur, jamais entre l'échelle et le mur.

La figure en détail : trois figures. La première est un triangle rectangle dont l'angle droit est en bas à gauche et l'angle thêta en bas à droite ; l'hypoténuse est tracée en trait plein épais, le côté opposé à thêta en tirets, le côté adjacent en pointillés. La deuxième montre deux triangles rectangles emboîtés de même angle, l'un de côtés 3 et 5, l'autre de côtés 6 et 10 ; les deux rapports valent 0,6. La troisième montre une échelle de 5,00 mètres appuyée contre un mur vertical, faisant un angle de 65 degrés avec le sol horizontal ; la hauteur atteinte sur le mur vaut 4,53 mètres et la distance du pied de l'échelle au mur vaut 2,11 mètres.

Unités. L'angle $\theta$ est en degrés (symbole $^\circ$), et la calculatrice doit être en mode DEG. Les rapports $\cos$, $\sin$ et $\tan$ sont des nombres sans unité — deux longueurs de même unité se divisent, l'unité disparaît. Le résultat d'un calcul de longueur, lui, porte l'unité des données : si l'énoncé donne des mètres, la réponse est en mètres. Et si les longueurs de l'énoncé sont dans deux unités différentes, convertis avant de diviser.

Chiffres significatifs. Une réponse demandée avec trois chiffres significatifs se calcule sans arrondi intermédiaire : garde $\sin(65^\circ)$ dans la calculatrice au lieu de recopier $0{,}91$. Un angle se donne le plus souvent arrondi au degré, sauf mention contraire.

Domaine de validité, en une phrase. Ces relations n'existent que dans un triangle rectangle, pour l'un de ses deux angles aigus. Elles ne s'appliquent ni à l'angle droit lui-même, ni à un triangle quelconque.

1. Confondre côté adjacent et côté opposé. C'est l'erreur la plus fréquente, et elle est invisible si l'on ne se relit pas. Les deux rôles dépendent de l'angle choisi : dans un même triangle, ils s'échangent quand on passe d'un angle aigu à l'autre. Dans l'exemple, la confusion aurait donné $2{,}11$ m pour la hauteur du mur et $4{,}53$ m pour la distance au sol — deux nombres justes, à la mauvaise place. Le réflexe : entoure l'angle utilisé sur la figure avant d'écrire quoi que ce soit, puis nomme les trois côtés par rapport à lui.
2. Calculatrice en radians. $\cos(65)$ en mode radians affiche environ $-0{,}562$. Un cosinus négatif pour un angle aigu est impossible : c'est le signal d'alarme. Vérifie avec $\cos(60)$, qui doit donner exactement $0{,}5$.
3. Écrire $\cos(\theta) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{opposé}}$. Cette écriture mélange le cosinus et l'inverse de la tangente. Elle donne, pour un angle inférieur à $45^\circ$, un résultat supérieur à $1$ — impossible pour un cosinus, qui est toujours strictement compris entre $0$ et $1$. Le seul rapport qui ne fait pas intervenir l'hypoténuse est la tangente.
4. Se tromper d'hypoténuse. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, pas à l'angle qu'on utilise. Dans le problème de l'échelle, c'est l'échelle elle-même — pas le mur. Contrôle infaillible : l'hypoténuse est toujours le côté le plus long.
5. Multiplier au lieu de diviser (ou l'inverse). Quand l'inconnue est au numérateur du rapport, on multiplie ; quand elle est au dénominateur, on divise. Si tu cherches l'hypoténuse en connaissant l'opposé, c'est $\dfrac{\text{opposé}}{\sin(\theta)}$ : le résultat doit être plus grand que l'opposé. S'il est plus petit, tu as multiplié au lieu de diviser.
6. Confondre $\sin$ et $\sin^{-1}$. $\sin(30^\circ) = 0{,}5$ transforme un angle en rapport ; $\sin^{-1}(0{,}5) = 30^\circ$ fait l'inverse. On utilise la touche inverse seulement quand l'inconnue est l'angle. Un résultat en degrés là où on attendait des mètres est le symptôme.
7. Arrondir en cours de route. Recopier $\sin(65^\circ) \approx 0{,}91$ au lieu de garder la valeur complète décale le troisième chiffre significatif du résultat. Enchaîne les calculs dans la calculatrice, arrondis à la fin.
8. Utiliser la trigonométrie dans un triangle qui n'est pas rectangle. Les trois rapports ne sont définis que dans un triangle rectangle. S'il n'y en a pas dans la figure, il faut d'abord en construire un — par exemple en traçant une hauteur — et le dire dans la rédaction.

À quoi t'attendre. L'exercice propose des situations concrètes, décrites en toutes lettres : échelle contre un mur, câble tendu vers un mât, fil de cerf-volant, ombre d'un arbre. Il demande tantôt une longueur — côté opposé, adjacent ou hypoténuse — avec trois chiffres significatifs, tantôt l'angle, arrondi au degré. L'angle droit se déduit toujours de l'énoncé, grâce aux mots « mur vertical » et « sol horizontal ».

Énoncé type. Un câble tendu de $24{,}0$ m de long relie le sommet d'un mât vertical à un point d'ancrage au sol. Le câble fait un angle de $40^\circ$ avec le sol horizontal. Calculer la distance entre le point d'ancrage et le pied du mât, en mètres, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Identifier le triangle rectangle. Le mât est vertical, le sol est horizontal : l'angle droit se trouve au pied du mât. Le mât, le sol et le câble forment un triangle rectangle.

2. Nommer les côtés par rapport à l'angle de $40^\circ$, situé au point d'ancrage.

• Le câble est l'hypoténuse : il fait face à l'angle droit. Il mesure $24{,}0$ m.
• Le mât est le côté opposé à l'angle de $40^\circ$.
• La distance entre le point d'ancrage et le pied du mât est le côté adjacent : c'est l'inconnue.

3. Choisir le rapport. On connaît l'hypoténuse et on cherche l'adjacent : c'est le cosinus qui les relie.

4. Isoler l'inconnue. L'inconnue est au numérateur, donc on multiplie :

5. Calculer, calculatrice en mode degrés, sans arrondi intermédiaire :

6. Contrôler. La distance trouvée est inférieure à la longueur du câble : c'est obligatoire, puisque l'hypoténuse est le côté le plus long. Vérification indépendante : la hauteur du mât vaut $24{,}0 \times \sin(40^\circ) \approx 15{,}4$ m, et Pythagore donne $18{,}4^{2} + 15{,}4^{2} = 338{,}6 + 237{,}2 = 575{,}8$, à comparer à $24{,}0^{2} = 576$. L'accord est bon à l'arrondi près.

Auto-contrôle : avant de valider, relis la valeur du cosinus affichée par la calculatrice. Si elle est négative ou supérieure à $1$, c'est le mode radians ou une faute de frappe. Et si l'énoncé avait demandé l'angle au lieu d'une longueur, il aurait fallu la touche inverse ($\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$) et une réponse en degrés.