Trigonométrie du triangle rectangle : un angle, trois rapports

Dans un triangle rectangle, tu connais déjà un outil : le théorème de Pythagore, qui relie les trois longueurs. Mais il ne dit rien des angles. Si on te donne une longueur et un angle, Pythagore est muet. La trigonométrie répond exactement à ce manque.

Premier réflexe : nommer les côtés. Dans un triangle rectangle, un côté a un nom absolu, les deux autres ont un nom relatif à l'angle que l'on choisit.

• L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le plus long, et son nom ne change jamais.
• Les deux autres côtés ne se nomment qu'une fois choisi l'un des deux angles aigus ; appelons-le $\theta$.
• Le côté opposé à $\theta$ est celui qui lui fait face, celui qui ne le touche pas.
• Le côté adjacent à $\theta$ est celui qui le touche, sans être l'hypoténuse.

Change d'angle, et les deux derniers noms s'échangent. C'est la source d'erreur numéro un : les côtés n'ont pas de nom en eux-mêmes, ils en ont un par rapport à l'angle utilisé.

Le mécanisme : pourquoi trois nombres suffisent. Dessine deux triangles rectangles ayant le même angle aigu $\theta$, l'un petit, l'autre deux fois plus grand. Ils ont exactement la même forme : le grand est un agrandissement du petit. D'après le théorème de Thalès, toutes leurs longueurs sont dans le même rapport. Donc, si tu divises le côté opposé par l'hypoténuse, tu trouves le même résultat dans les deux triangles.

Le rapport de deux côtés d'un triangle rectangle ne dépend pas de la taille du triangle : il ne dépend que de l'angle.

C'est cette découverte qui rend la trigonométrie possible. À chaque angle aigu correspondent trois nombres, toujours les mêmes, que la calculatrice connaît :

Le moyen mnémotechnique classique se lit en trois blocs : SOH — CAH — TOA. Sinus = Opposé sur Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ; Tangente = Opposé sur Adjacent.

Choisir le rapport, méthode en deux temps. Écris ce que tu connais et ce que tu cherches, puis prends le rapport qui contient exactement ces deux côtés-là.

Retrouver un angle. Quand on connaît le rapport et qu'on cherche l'angle, on utilise les touches inverses de la calculatrice, notées $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$ (parfois acos, asin, atan, ou obtenues avec la touche « seconde »). Elles font le chemin retour : $\cos^{-1}(0{,}5)=60^\circ$, tandis que $\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ$. Choisis la touche correspondant au rapport utilisé.

Deux garde-fous à retenir par cœur. L'hypoténuse est le côté le plus long, donc le numérateur d'un cosinus ou d'un sinus est toujours plus petit que son dénominateur :

Si ta calculatrice affiche $\cos(\theta) = 1{,}4$ ou une valeur négative, l'erreur est certaine — pas la peine d'aller plus loin. La tangente, elle, n'est pas bornée : elle vaut $1$ à $45^\circ$, dépasse $1$ au-delà, et devient très grande près de $90^\circ$.

Le mode de la calculatrice. La trigonométrie du collège se fait en degrés. Ta calculatrice doit afficher DEG (ou D), pas RAD ni GRA. Le test qui prend trois secondes : tape $\cos(60)$. Tu dois lire exactement $0{,}5$. Si tu lis $-0{,}952$, tu es en radians.

Un contrôle par Pythagore. Quand tu as calculé deux côtés d'un triangle rectangle par la trigonométrie, tu peux les vérifier avec le troisième :

Cette vérification contrôle la cohérence des longueurs. Elle ne détecte pas l’échange des deux cathètes, puisque leurs carrés s’additionnent dans les deux ordres. Pour contrôler les rôles opposé/adjacent, reviens à l’angle choisi sur la figure.

Une remarque utile (pas une formule à apprendre). Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme $90^\circ$. Et comme les rôles « opposé » et « adjacent » s'échangent quand on passe de l'un à l'autre, le cosinus de l'un est le sinus de l'autre. Si tu trouves $\sin(35^\circ) \approx 0{,}574$ et $\cos(55^\circ) \approx 0{,}574$, tout va bien.

Pour situer ce cours. Les définitions par rapports de côtés utilisées ici concernent un angle aigu d’un triangle rectangle. Le cercle trigonométrique, les radians et les lois des sinus et des cosinus permettent d’autres formulations ; ils ne sont pas développés dans cette leçon. Pour appliquer les rapports présentés ici à une figure plus complexe, repère ou construis d’abord un triangle rectangle, par exemple avec une hauteur.

Énoncé. Une échelle de $5{,}00$ m de long est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle de $65^\circ$ avec le sol horizontal. À quelle hauteur son sommet touche-t-il le mur ? À quelle distance du mur son pied se trouve-t-il ? Donner les résultats en mètres, avec trois chiffres significatifs.

1. Repérer le triangle rectangle. Le mur est vertical, le sol est horizontal : ils se coupent à angle droit. Le mur, le sol et l'échelle forment donc un triangle rectangle, dont l'angle droit est au bas du mur.

2. Nommer les trois côtés par rapport à l'angle de $65^\circ$, qui se trouve au pied de l'échelle.

• L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est l'échelle, $5{,}00$ m. (Erreur classique : prendre le mur, parce qu'il est « en face ». Le mur fait face à l'angle de $65^\circ$, pas à l'angle droit.)
• Le côté opposé à l'angle de $65^\circ$ est la hauteur atteinte sur le mur : c'est la première inconnue.
• Le côté adjacent est la distance du pied de l'échelle au mur, sur le sol : c'est la seconde inconnue.

3. Calculer la hauteur. On connaît l'hypoténuse, on cherche l'opposé : c'est le sinus qui les relie.

Calculatrice en mode degrés : $\sin(65^\circ) \approx 0{,}9063$, donc

4. Calculer la distance au mur. On connaît l'hypoténuse, on cherche l'adjacent : c'est le cosinus.

5. Vérifier par Pythagore. Les deux résultats doivent redonner la longueur de l'échelle :

Les deux nombres coïncident à l'arrondi près — le petit écart vient des valeurs arrondies à trois chiffres, pas d'une erreur. Ce contrôle ne détecte pas un échange entre opposé et adjacent : la somme de leurs carrés est inchangée. L’étape suivante contrôle ces rôles à l’aide de l’angle de $65^\circ$.

6. Contrôler la vraisemblance. Les deux longueurs trouvées sont plus petites que l'échelle : normal, l'hypoténuse est le plus long côté. Et $4{,}53 > 2{,}11$ : normal aussi, puisque $65^\circ$ est supérieur à $45^\circ$, l'échelle est plutôt dressée que couchée. Si tu avais trouvé une distance au mur de $4{,}53$ m et une hauteur de $2{,}11$ m, ce serait le signe d'une inversion opposé/adjacent.

7. Et si l'on cherchait l'angle ? Supposons maintenant que l'on mesure directement la hauteur, $4{,}53$ m, et la distance au mur, $2{,}11$ m, sans connaître l'angle. On connaît l'opposé et l'adjacent : c'est la tangente.

On retombe sur l'angle de départ : la boucle est bouclée.

Lire la figure (fig.math.right-triangle-sides) : trois panneaux — le vocabulaire des côtés, l'invariance du rapport avec la taille, et la situation de l'exemple.

• Panneau de gauche — nommer les côtés. Un triangle rectangle $ABC$, l'angle droit en $B$ (en bas à gauche), marqué par le petit carré habituel. L'angle aigu en $A$ (en bas à droite) est marqué par un arc et étiqueté $\theta$. Les trois côtés portent chacun un tracé distinct, pour être reconnaissables sans la couleur :
• $[AC]$, l'hypoténuse, en trait plein épais, étiquetée « hypoténuse — en face de l'angle droit, la plus longue » ;
• $[BC]$, le côté opposé à $\theta$, en trait tireté, étiqueté « opposé à $\theta$ — il ne touche pas $\theta$ » ;
• $[AB]$, le côté adjacent à $\theta$, en trait pointillé, étiqueté « adjacent à $\theta$ — il touche $\theta$ ».
• Toujours dans le panneau de gauche, un second arc, plus pâle, marque l'angle en $C$, avec la mention « depuis cet angle-là, opposé et adjacent s'échangent ».
• Panneau du milieu — le rapport ne dépend pas de la taille. Deux triangles rectangles emboîtés, de même angle $\theta$ au sommet commun, l'un ayant des côtés deux fois plus grands que l'autre. Sous chacun, le calcul du même rapport : $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ pour le petit, $\dfrac{6}{10} = 0{,}6$ pour le grand, avec la conclusion « même angle, même rapport ».
• Panneau de droite — l'échelle. Un mur vertical à droite, un sol horizontal en bas, l'angle droit entre eux marqué d'un petit carré. L'échelle est un segment oblique allant du sol au mur, coté $5{,}00$ m. L'angle avec le sol est marqué d'un arc et coté $65^\circ$. La hauteur sur le mur est cotée par une double flèche verticale portant $4{,}53$ m ; la distance du pied au mur par une double flèche horizontale portant $2{,}11$ m. Sous la figure, les deux relations utilisées : hauteur $= 5{,}00 \times \sin(65^\circ)$ et distance $= 5{,}00 \times \cos(65^\circ)$.

Ce qu'il faut lire. Le panneau de gauche montre que « opposé » et « adjacent » sont des rôles, pas des noms de côtés : le second arc suffit à les échanger. Le panneau du milieu montre pourquoi la calculatrice peut connaître ces nombres une fois pour toutes : le rapport ne dépend que de l'angle, jamais de la taille du triangle. Le panneau de droite montre le cas concret le plus fréquent, et la position exacte de l'angle droit — au bas du mur, jamais entre l'échelle et le mur.

La figure en détail : trois figures. La première est un triangle rectangle dont l'angle droit est en bas à gauche et l'angle thêta en bas à droite ; l'hypoténuse est tracée en trait plein épais, le côté opposé à thêta en tirets, le côté adjacent en pointillés. La deuxième montre deux triangles rectangles emboîtés de même angle, l'un de côtés 3 et 5, l'autre de côtés 6 et 10 ; les deux rapports valent 0,6. La troisième montre une échelle de 5,00 mètres appuyée contre un mur vertical, faisant un angle de 65 degrés avec le sol horizontal ; la hauteur atteinte sur le mur vaut environ 4,53 mètres et la distance du pied de l’échelle au mur vaut environ 2,11 mètres.