Partager exactement, même sans décimal fini

Partager trois mètres de ruban en quatre morceaux égaux donne $3/4$ m par morceau. Le nombre $3/4$ est le quotient de 3 par 4 : pris quatre fois, il redonne 3. Ce sens complète l’image de trois quarts d’une unité.

Pour partager un mètre en trois, on obtient exactement $1/3$ m. Écrire 0,33 m ferait seulement 0,99 m pour les trois morceaux ; il manquerait 0,01 m. On ne peut pas remplacer une fraction exacte par un arrondi dans une égalité exacte.

Dans $3\times\square=1$, le nombre manquant est donc $1/3$. De même, dans $7\times\square=5$, il vaut $5/7$. Une fraction peut être un entier ($6/3=2$), un décimal non entier ($3/4=0{,}75$), ou un nombre sans écriture décimale finie ($1/3$).

Pour placer $7/4$, gradue chaque unité en quatre intervalles égaux, puis compte sept pas depuis zéro. Quatre pas font une unité et il reste trois pas : $7/4=1+3/4$. Cette écriture mixte situe le point entre 1 et 2.

La division euclidienne relie ces écritures : $7=4\times1+3$. Plus généralement, on retire les unités complètes puis on garde une fraction strictement inférieure à 1. Si le reste est nul, la fraction représente un entier.

On conserve toujours la même unité et le même pas, y compris au-delà de 1. Partir de 2 puis avancer de trois quarts conduit à $2+3/4=11/4$, pas à $3/4$. Pour comparer $7/4$ et $5/3$, on peut les exprimer en douzièmes : $21/12>20/12$. Le placement entre 1 et 2 ne suffisait pas à les départager.

Pour ordonner une liste mêlant fractions et nombres mixtes, commence par repérer les unités entières de chaque nombre. Si les parties entières diffèrent, elles donnent l’ordre. Si elles sont égales, compare les fractions restantes, éventuellement avec un dénominateur commun. Le sens de lecture demandé reste essentiel : croissant signifie du plus petit au plus grand.

Matériel : une bande dont un bord mesure 3 cm, un crayon, une règle, et une feuille portant des parallèles régulièrement espacées de 2 mm. Nomme A et B les extrémités du bord de 3 cm. Nous voulons le partager en sept parts égales sans utiliser une longueur décimale arrondie.

1. Numérote huit lignes consécutives de 0 à 7 : elles délimitent sept espaces, pas huit.
2. Place A sur la ligne 0. Fais pivoter la bande, en maintenant A sur cette ligne, jusqu’à ce que B soit sur la ligne 7. C’est possible ici : les sept espaces du guide occupent 14 mm, moins que les 30 mm de la bande.
3. Marque sur AB les six intersections avec les lignes 1 à 6. Le réseau de parallèles équidistantes produit sept segments égaux sur le bord oblique. La figure montre le principe ; il n’est pas nécessaire de mesurer chaque petite longueur à la règle graduée.
4. Une part mesure exactement $3/7$ cm. Reporte cette part sept fois sur une seconde bande pour retrouver 3 cm, puis compare le résultat à la bande initiale.

Relecture humaine : vérifier les parallèles et leur écart, le maintien des deux extrémités sur les lignes choisies, le nombre d’intervalles et la reconstitution du total. Les petites différences observées peuvent venir de l’épaisseur du trait ou du geste. La construction idéale exprime un partage exact ; le site ne certifie pas la précision de ta manipulation.

Range 7/4 ; 1 + 2/3 ; 9/5 ; 1 + 1/2 dans l’ordre croissant. Toutes les parties entières valent 1 : il reste 3/4, 2/3, 4/5 et 1/2. En soixantièmes, ces parts valent 45/60, 40/60, 48/60 et 30/60. Donc 1 + 1/2 < 1 + 2/3 < 7/4 < 9/5. Placer ces nombres entre 1 et 2 sur une droite permet un contrôle visuel ; des écritures différentes ne désignent pas forcément des nombres différents.

À gauche, huit parallèles numérotées de 0 à 7 coupent le segment AB en sept parties égales. Les intersections servent à marquer la bande, pas à lire sept centimètres. À droite, une autre représentation partage chaque unité en quatre et place 7/4 au troisième quart après 1. Ces deux panneaux illustrent des fractions différentes : 3/7 cm est une longueur de morceau ; 7/4 est l’abscisse du point P.