Variables à densité : la probabilité est une aire

En première, une variable aléatoire prenait quelques valeurs, chacune avec sa probabilité, et l'on additionnait. Une durée ou une taille peut être modélisée par une loi à densité lorsque ce modèle convient. Le fait d’avoir un ensemble de valeurs non dénombrable n’exclut pas, à lui seul, des atomes de probabilité positive ; on suppose ici explicitement une loi à densité. Il faut changer d'outil : la probabilité devient une aire, et la somme une intégrale.

Densité. Une fonction $f$ est une densité de probabilité si elle est positive ou nulle, intégrable, et si

Une variable $X$ est à densité $f$ si, pour tous réels $a \le b$,

$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ : l'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$.

Trois conséquences immédiates, qui sont les trois premières erreurs du chapitre :

• $f$ n'est pas une probabilité. C'est son intégrale qui vaut $1$ ; ses valeurs peuvent dépasser $1$ (la densité $\dfrac{3}{8}x^{2}$ sur $[0\,;\,2]$ vaut $1{,}5$ en $x = 2$).
• Une valeur isolée a une probabilité nulle : $P(X = t) = \int_{t}^{t} f = 0$. Ce n'est pas que $t$ est impossible ; c'est qu'une aire de largeur nulle est nulle.
• Strict ou large, même chose : $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$, puisque les bornes ne pèsent rien.

Fonction de répartition. $F(t) = P(X \le t) = \int_{-\infty}^{t} f(x)\,\mathrm{d}x$. Elle est croissante, continue, tend vers $0$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$, et $F' = f$ là où $f$ est continue. Toute probabilité d'intervalle s'en déduit : $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)$, $P(X > t) = 1 - F(t)$. Connaître $F$, c'est connaître la loi.

Espérance et variance. On remplace $\sum x_i\,p_i$ par

pour une espérance finie, on exige $\int|x|f(x)\,dx<\infty$ ; pour la variance finie, $\int x^2f(x)\,dx<\infty$. Une simple valeur principale symétrique ne suffit pas à définir une espérance. Le facteur $x$ devant $f$ est le pendant du $x_i$ devant $p_i$ : l'intégrale de $f$ seule vaut $1$, elle représente aussi $E(1)$, mais pas en général $E(X)$.

Un premier exemple, de bout en bout. Soit $f(x) = k\,x^{2}$ sur $[0\,;\,2]$, nulle ailleurs. Normalisation : $\int_{0}^{2} k\,x^{2}\,\mathrm{d}x = k\,\dfrac{8}{3} = 1$, donc $k = \dfrac{3}{8}$. Répartition : $F(t) = \dfrac{t^{3}}{8}$ pour $0 \le t \le 2$. Alors $P(X \le 1) = \dfrac{1}{8}$, $P(1 \le X \le 2) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$. Espérance : $E(X) = \dfrac{3}{8}\int_{0}^{2} x^{3}\,\mathrm{d}x = \dfrac{3}{8} \times 4 = \dfrac{3}{2}$. Et $E(X^{2}) = \dfrac{3}{8}\int_{0}^{2} x^{4}\,\mathrm{d}x = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{32}{5} = \dfrac{12}{5}$, d'où $V(X) = \dfrac{12}{5} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{20} = 0{,}15$. Ici la répartition est strictement croissante sur $[0;2]$, donc la médiane est l’unique $m$ tel que $F(m) = \dfrac{1}{2}$ : $m^{3} = 4$, $m = 4^{1/3} \approx 1{,}587$ — différente de l'espérance, comme souvent pour une loi dissymétrique.

Loi uniforme sur $[a;b]$, avec $a<b$. Densité constante $f = \dfrac{1}{b - a}$ sur l'intervalle, nulle ailleurs : « aucune valeur n'est favorisée ». La probabilité d'un sous-intervalle est proportionnelle à sa longueur : $P(c\leqslant X\leqslant d)=(d-c)/(b-a)$ si $a\leqslant c\leqslant d\leqslant b$ ; sinon on prend la longueur de l’intersection avec $[a;b]$. Par intégration, $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$ et $V(X) = \dfrac{(b - a)^{2}}{12}$. Sur $[2\,;\,5]$ : $E = 3{,}5$, $V = \dfrac{9}{12} = 0{,}75$, et $P(3 \le X \le 4{,}5) = \dfrac{1{,}5}{3} = \dfrac{1}{2}$. On intègre, on ne compte pas des valeurs.

Loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. Densité $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \ge 0$, nulle avant. Pour $t\geqslant0$, répartition $F(t)=1-e^{-\lambda t}$ (et $F(t)=0$ pour $t<0$), donc $P(X > t) = e^{-\lambda t}$. Espérance $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ (intégration par parties), variance $\dfrac{1}{\lambda^{2}}$. On la paramètre souvent par sa moyenne $\tau = \dfrac{1}{\lambda}$ : durée de vie d'un composant, temps d'attente entre deux appels — quand rien ne s'use.

Dans ce modèle, pour $s,t\geqslant0$, on a l’absence de mémoire :

Un composant qui a déjà duré $s$ a la même loi de durée restante qu'un composant neuf. La formule se calcule comme un quotient de deux probabilités ; l'erreur classique est d'écrire $P(X > s + t)$ à la place du conditionnement. Exemple, $\tau = 10$ h ($\lambda = 0{,}1\ \mathrm{h^{-1}}$) : $P(X > 5) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}607$ ; $P(X > 15 \mid X > 5) = \dfrac{e^{-1{,}5}}{e^{-0{,}5}} = e^{-1} \approx 0{,}368 = P(X > 10)$ ; alors que $P(X > 15) = e^{-1{,}5} \approx 0{,}223$. La médiane est $\tau \ln 2 \approx 6{,}93$ h — inférieure à la moyenne $10$ h, parce que la loi traîne à droite.

Loi normale $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$, avec $\mu\in\mathbb R$ et $\sigma>0$. Densité $f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x - \mu)^{2}/(2\sigma^{2})}$ sur $\mathbb{R}$ : la courbe en cloche, centrée en $\mu$, de largeur réglée par $\sigma$. Espérance $\mu$, variance $\sigma^{2}$. Sa fonction de répartition n'a pas d'expression par les fonctions usuelles : on lit une table de la loi centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$, notée $\Phi$, après avoir posé

On divise par l'écart-type $\sigma$, jamais par la variance. Deux propriétés de la table : $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ (symétrie), et $\Phi(0) = \dfrac{1}{2}$. Repères à connaître : $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = 2\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683$, $P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954$, $P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997$.

Exemple modélisé : on suppose une taille $X \sim \mathcal{N}(170, 8^{2})$ (en cm). $P(X \le 182) = \Phi\!\left(\dfrac{12}{8}\right) = \Phi(1{,}5) \approx 0{,}933$ ; $P(X > 190) = 1 - \Phi(2{,}5) \approx 0{,}0062$ ; $P(162 \le X \le 178) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683$.

Simuler une loi par inversion. Si $U$ suit une loi uniforme sur $]0;1[$ et si la restriction de la fonction de répartition $F$ à son intervalle de valeurs possibles est continue et strictement croissante d’image $]0;1[$, alors $X = F^{-1}(U)$ a pour fonction de répartition $F$ : en effet $P(F^{-1}(U) \le t) = P(U \le F(t)) = F(t)$. Pour l'exponentielle, $F^{-1}(u) = -\dfrac{1}{\lambda}\ln(1 - u)$ : avec $u = 0{,}3$ et $\tau = 10$ h, on tire $x = -10\ln 0{,}7 \approx 3{,}57$ h. Cette transformation permet de simuler une loi à partir d’un générateur uniforme ; en machine, il faut éviter les extrémités qui rendraient le logarithme infini et tenir compte de la précision finie. D’autres algorithmes et sources d’aléa existent. (Pour la normale, $F^{-1}$ n'est pas explicite ; on utilise d'autres méthodes, hors de cette leçon.)

Quantiles. Pour $0<p<1$, lorsque $F$ est continue et strictement croissante sur son support, le quantile $t_p$ est l’unique solution de $F(t_p)=p$. Plus généralement, on peut définir $t_p=\inf\{t:F(t)\geqslant p\}$ ; une équation $F(t)=p$ peut avoir plusieurs solutions sur un plateau ; la médiane est $t_{1/2}$. Exponentielle de moyenne $10$ h : $t_{0{,}9} = -10\ln(0{,}1) \approx 23{,}0$ h — dans ce modèle, la probabilité d’être hors service avant cet instant vaut 0,9 ; un groupe concret de dix composants n’en contient pas forcément exactement neuf.

Soit $X$ de densité $f(x)=(1+x)/2$ pour $-1\leqslant x\leqslant1$, nulle ailleurs. On étudie $Y=X^2$.

Normaliser et cumuler. $\int_{-1}^1(1+x)/2\,dx=1$ et la densité est positive ou nulle. Pour $-1\leqslant t\leqslant1$, $F_X(t)=(t+1)^2/4$, prolongée par 0 à gauche et 1 à droite.

Calculer les moments. $E(X)=1/3$, $E(X^2)=1/3$ (les termes impairs s’annulent sur le segment symétrique), donc $V(X)=1/3-1/9=2/9$. La médiane $m_X=\sqrt2-1$ diffère de l’espérance.

Construire la répartition de Y par l’événement. Pour $0\leqslant y\leqslant1$,

On ne peut pas utiliser seulement la branche positive : la fonction carré n’est pas croissante sur tout $[-1;1]$. Ainsi la densité de Y vaut $1/(2\sqrt y)$ pour $0<y<1$, nulle ailleurs ; elle est intégrable malgré sa hauteur non bornée près de 0.

Vérifier. $E(Y)=\int_0^1y/(2\sqrt y)\,dy=1/3=E(X^2)$ ; $E(Y^2)=1/5$, donc $V(Y)=1/5-1/9=4/45$. La médiane de Y est 1/4. Elle n’est pas le carré de celle de X : transformer une médiane par une fonction non monotone n’est pas une règle générale.

Figure (fig.math.integral-area-and-sign, figure programmatique de la leçon de terminale sur l'intégrale, réutilisée ici parce qu'une probabilité est exactement ce qu'elle dessine) : trois panneaux.

• Panneau 1. Une courbe positive, $f(x) = 6x^{2} - 4x + 3$, et le domaine hachuré entre $x = 1$ et $x = 3$, d'aire $\int_{1}^{3} f = 42$ unités d'aire, avec un rectangle témoin « une unité d'aire ». Pour cette leçon : remplacez $f$ par une densité. Le domaine hachuré est alors $P(1 \le X \le 3)$, et l'aire totale sous la courbe vaut $1$ — ici elle vaut bien plus, la courbe de la figure n'est pas une densité. Pour en tirer une densité, on peut restreindre la fonction au segment $[1;3]$, la diviser par 42 et la poser nulle ailleurs. Sur tout $\mathbb R$, ce polynôme a une intégrale infinie et ne peut être normalisé par une constante finie. Une bande de largeur nulle en $x = 2$ aurait une aire nulle : $P(X = 2) = 0$.
• Panneau 2. Une courbe $g(x) = 4 - x^{2}$ qui change de signe en $c = 2$, avec une région comptée $+$ et une région comptée $-$, et la relation de Chasles pour découper. Pour cette leçon : une densité est positive, ce panneau montre ce qu'une densité ne fait jamais. Mais Chasles est l'outil de toutes les lois par morceaux : $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)$ découpe et recolle des aires, et $P(X > t) = 1 - F(t)$ est « l'aire totale moins l'aire à gauche ».
• Panneau 3. Le même domaine que le panneau 1, remplacé par un rectangle de même aire et de hauteur constante $\mu = \dfrac{42}{3 - 1} = 21$ : la valeur moyenne de $f$ sur $[1\,;\,3]$. Pour cette leçon, c'est l'idée d'une moyenne obtenue par intégrale — mais attention, l'espérance n'est pas la valeur moyenne de la densité : c'est $\int x\,f(x)\,\mathrm{d}x$, une moyenne des valeurs $x$ pondérées par $f$. Le panneau montre la mécanique (une intégrale divisée par une longueur) ; l'espérance y ajoute le facteur $x$.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : une courbe d'aire totale $1$ (aucun des trois panneaux n'en est une) ; la fonction de répartition, courbe croissante de $0$ à $1$ qui accumule l'aire de gauche à droite ; les trois formes usuelles — le rectangle de la loi uniforme, la décroissance exponentielle qui part de $\lambda$ en $0$, la cloche symétrique de la loi normale ; et l'intervalle infini sur lequel ces deux dernières s'intègrent. La figure donne le principe « probabilité = aire » ; les lois donnent les courbes.