Variables aléatoires discrètes et lois usuelles

En première année, une variable aléatoire prenait un nombre fini de valeurs, et son espérance était une somme finie. Ici, elle peut en prendre une infinité dénombrable — le nombre de lancers avant un six, le nombre d'appels reçus en une heure — et l'espérance devient une série, qui peut ne pas converger.

Variable discrète, loi. Une variable aléatoire $X$ est discrète si l'ensemble $X(\Omega)$ de ses valeurs est fini ou dénombrable. Sa loi est la donnée des $P(X = x)$ pour $x \in X(\Omega)$ ; ces nombres sont positifs et de somme $1$.

Loi géométrique $\mathcal{G}(p)$. On répète des épreuves indépendantes de même probabilité de succès $p \in \left]0\,;\,1\right[$, et $X$ est le rang du premier succès :

La seconde formule se lit directement : « pas de succès avant le rang $k$ » signifie $k$ échecs consécutifs. Espérance $E(X) = \dfrac{1}{p}$, variance $V(X) = \dfrac{1 - p}{p^{2}}$. Le nombre d'échecs avant le premier succès est $Y = X - 1$, d'espérance $\dfrac{1}{p} - 1$ : les deux conventions diffèrent de $1$.

Absence de mémoire. Pour tous entiers $k, m \ge 0$ : $P(X > k + m \mid X > k) = P(X > m)$. Avoir déjà échoué $k$ fois ne rapproche pas le succès. Avec un dé ($p = \dfrac{1}{6}$) : $\dfrac{(5/6)^{5}}{(5/6)^{2}} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} \approx 0{,}579$, que l'on ait déjà attendu ou non. La loi géométrique est la seule loi à valeurs dans $\mathbb{N}^{*}$ qui ait cette propriété.

Loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$. Pour $\lambda > 0$, $X$ prend les valeurs $0, 1, 2, \dots$ avec

La somme vaut $1$ grâce au développement en série de l'exponentielle. C'est la loi des événements rares comptés en grand nombre d'occasions : si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec $n$ grand, $p$ petit et $np$ modéré, alors $X$ suit approximativement $\mathcal{P}(np)$. Pour $\mathcal{B}(1\,000\,;\,0{,}0027)$ : $P(X = 2) \approx 0{,}245\,1$, contre $0{,}245\,0$ pour $\mathcal{P}(2{,}7)$.

Espérance d'une variable infinie. $X$ admet une espérance si la série $\sum x\,P(X = x)$ converge absolument ; alors $E(X) = \sum_{x} x\,P(X = x)$. Sans convergence absolue, il n'y a pas d'espérance : la condition se vérifie, elle ne va pas de soi. Transfert : $E(g(X)) = \sum_{x} g(x)\,P(X = x)$, sous la même condition, sans calculer la loi de $g(X)$.

Variance. Si $E(X^{2})$ existe, $V(X) = E\big((X - E(X))^{2}\big) = E(X^{2}) - E(X)^{2}$ et $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Pour une transformation affine :

Le décalage $b$ ne change pas la dispersion ; le facteur $a$ entre au carré. Exemple : $X \sim \mathcal{P}(5{,}7)$ et $Y = 3X - 2$ : $V(Y) = 9 \times 5{,}7 = 51{,}3$.

Indépendance. Deux variables $X$ et $Y$ sont indépendantes si $P(X = x, Y = y) = P(X = x)\,P(Y = y)$ pour tous $x, y$. Alors $E(XY) = E(X)\,E(Y)$ et $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Sans indépendance, ces deux formules sont fausses en général (avec $Y = X$, $V(2X) = 4V(X)$, pas $2V(X)$).

Somme de deux Poisson indépendantes. Si $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$ sont indépendantes, alors $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$. Preuve par la formule du binôme :

Cette stabilité est propre à la loi de Poisson : la somme de deux variables géométriques indépendantes n'est pas géométrique.

Inégalité de Markov. Si $X$ est positive et admet une espérance, pour tout $a > 0$ :

Pour $X \sim \mathcal{P}(5{,}7)$ : $P(X \ge 10) \le 0{,}57$, alors que la vraie valeur est d'environ $0{,}065$. La borne est grossière, mais elle ne demande que l'espérance.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Si $X$ admet une variance, pour tout $\varepsilon > 0$ :

C'est Markov appliqué à la variable positive $(X - E(X))^{2}$ et au seuil $\varepsilon^{2}$. Pour $\mathcal{P}(5{,}7)$ et $\varepsilon = 3$ : majorant $\dfrac{5{,}7}{9} \approx 0{,}633$, valeur exacte $\approx 0{,}200$.

Loi faible des grands nombres. Soit $(X_n)$ une suite de variables indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^{2}$, et $\overline{X}_n = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n}$. Alors $E(\overline{X}_n) = m$, $V(\overline{X}_n) = \dfrac{\sigma^{2}}{n}$, et Tchebychev donne

La moyenne empirique se concentre autour de l'espérance — c'est la justification de l'interprétation fréquentiste.

Énoncé.

1. On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un six ; $X$ est le rang du premier six. Calculer $P(X = 3)$, $P(X > 4)$, $E(X)$, puis le nombre moyen de lancers ratés avant le six.
2. Le nombre d'appels reçus par un standard en une minute suit $\mathcal{P}(5{,}7)$. Calculer $P(X = 2)$, puis majorer $P(\lvert X - 5{,}7 \rvert \ge 3)$.
3. Deux standards indépendants reçoivent respectivement $\mathcal{P}(1{,}2)$ et $\mathcal{P}(1{,}4)$ appels par minute. Probabilité qu'aucun appel n'arrive en une minute ?

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1. Loi géométrique, $p = \dfrac{1}{6}$.

$E(X) = \dfrac{1}{p} = 6$ : on attend en moyenne six lancers. Le nombre de lancers ratés est $Y = X - 1$, d'espérance $6 - 1 = 5$. Confondre les deux conventions donne $6$ au lieu de $5$.

2. Poisson, $\lambda = 5{,}7$.

$X$ admet une variance $V(X) = 5{,}7$ ; Bienaymé-Tchebychev avec $\varepsilon = 3$ :

La valeur exacte, obtenue en sommant la loi ($X \le 2$ ou $X \ge 9$), vaut environ $0{,}200$ : le majorant est vrai mais plus de trois fois trop large. C'est le prix d'une inégalité qui n'utilise que la variance.

3. Somme de Poisson. Les deux variables sont indépendantes : le nombre total d'appels suit $\mathcal{P}(1{,}2 + 1{,}4) = \mathcal{P}(2{,}6)$. Donc

Contrôle sans le théorème : $P(X = 0)\,P(Y = 0) = e^{-1{,}2}\,e^{-1{,}4} = e^{-2{,}6}$. $\checkmark$ Et $P(X + Y = 3) = e^{-2{,}6}\,\dfrac{2{,}6^{3}}{3!} \approx 0{,}218$.

Lecture. Identifier la loi (rang d'un premier succès, ou comptage d'événements rares), écrire sa formule, utiliser ses moments connus ; les inégalités donnent des bornes quand on ne veut, ou ne peut, pas sommer la loi.

Figure (fig.math.random-variable-law, figure programmatique de la leçon de première sur les variables aléatoires, réutilisée ici parce qu'elle dessine les deux théorèmes du chapitre) : en haut, trois bâtons aux valeurs $-2$, $0$, $4$, de hauteurs $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$, posés sur une règle en équilibre sur un pivot en $E(X) = -0{,}2$, avec une accolade d'un écart-type de part et d'autre ($\sigma \approx 2{,}27$) ; en bas, la moyenne des gains après $1$ à $500$ parties, très irrégulière au début, de plus en plus resserrée autour de la droite $y = -0{,}2$.

Pour cette leçon :

• Le pivot est l'espérance : pour une loi infinie (géométrique, Poisson), il y a une infinité de bâtons, de plus en plus petits, et le pivot n'existe que si leurs « moments » $\sum x\,P(X = x)$ ont une somme finie — c'est la condition de convergence absolue, dessinée.
• L'accolade d'un écart-type. Tchebychev dit que la masse située à plus de $k$ écarts-types du pivot est au plus $\dfrac{1}{k^{2}}$ : au plus un quart au-delà de $2\sigma$, au plus un neuvième au-delà de $3\sigma$, quelle que soit la loi.
• La ligne brisée du bas est la loi faible des grands nombres : la moyenne de $n$ parties indépendantes a pour variance $\dfrac{\sigma^{2}}{n}$, ici environ $\dfrac{5{,}16}{n}$ ; après $500$ parties, l'écart-type de la moyenne ne vaut plus qu'environ $0{,}1$, ce qui explique le resserrement visible.

Ce que la figure ne montre pas : une loi à valeurs en nombre infini, et une loi de Poisson ou géométrique en particulier. Il faut se représenter, pour $\mathcal{G}(1/6)$, des bâtons en $1, 2, 3, \dots$ qui décroissent géométriquement d'un facteur $\dfrac{5}{6}$, avec un pivot en $6$.