Volumes de cubes et de pavés : compter par couches

Un volume mesure l’espace occupé par un solide. Un cube de côté 1 cm sert d’unité : son volume est 1 cm³, lu « un centimètre cube ». Dans une boîte, on compte tous les cubes unités qu’elle contient, y compris ceux cachés derrière ou sous les autres.

Une couche rectangulaire de quatre cubes sur trois contient 12 cubes. Deux couches identiques contiennent 24 cubes. La méthode distingue les trois dimensions : longueur, largeur et hauteur.

Pour un pavé entièrement rempli de cubes unités, compte les cubes d’une couche puis multiplie par le nombre de couches. Le produit des trois dimensions résume ce comptage lorsque les dimensions sont exprimées dans une même unité.

Dans un cube, les trois dimensions sont égales. Un cube de côté 3 cm contient trois couches de neuf cubes de 1 cm³, donc 27 cm³. Ces formules sont reliées au comptage ; elles ne donnent pas le volume d’un assemblage incomplet sans tenir compte des trous.

Une boîte intérieure de 4 cm sur 3 cm sur 2 cm contient deux couches de 4 × 3 = 12 cubes de 1 cm³. Son volume est 24 cm³.

Si l’on retire trois cubes unités sans en déplacer d’autres, l’assemblage restant possède un volume de 24 − 3 = 21 cm³. Le grand pavé qui l’entoure conserve ses dimensions, mais il contient désormais des places vides.

Un cube de 2 cm de côté a un volume de 2 × 2 × 2 = 8 cm³, et non 6 cm³.

La figure présente séparément les deux couches d’un pavé de 4 cubes sur 3 cubes sur 2 couches. Chaque petit carré représente la place d’un cube de 1 cm³ dans une couche ; ce sont des plans de couches, pas une vue extérieure du solide.

Compte douze positions dans chaque plan, puis additionne 12 + 12. Aucun cube n’est caché dans cette représentation. Sur une vue en perspective, certains cubes le seraient : il faudrait les retrouver grâce aux dimensions ou à la description du remplissage.