Le champ magnétique : sources et cartes de champ

Approchez un aimant d'une boussole : l'aiguille tourne. Faites passer un courant dans un fil tendu au-dessus de la même boussole : l'aiguille tourne aussi. L'expérience est celle d'Ørsted, en 1820, et sa conclusion est le point de départ de tout l'électromagnétisme : un aimant et un courant produisent le même genre d'effet, donc la même grandeur physique.

Le champ magnétique est une grandeur vectorielle, notée $\vec{B}$, définie en tout point de l'espace. Son unité dans le système international est le tesla (symbole T).

Vectorielle : cela veut dire qu'en un point donné, si le champ est non nul, il a une direction, un sens et une norme ; un champ nul n’a pas de direction définie, et qu'on ne peut pas le résumer à un nombre. C'est la différence essentielle avec une température ou une pression. Deux sources présentes en même temps ne s'additionnent pas en nombres mais en vecteurs : c'est le principe de superposition, et c'est ce qui explique la déviation d'une boussole, plus loin dans cette leçon.

Les deux sources, et le fait qu'elles n'en font qu'une. Un aimant permanent produit un champ ; un courant électrique aussi. La physique moderne les unifie : le magnétisme d’un aimant dépend de moments magnétiques microscopiques, notamment orbitaux et intrinsèques. Le spin n’est pas une rotation classique d’une petite bille chargée. Les aimants et courants sont les sources statiques étudiées ici, sans épuiser l’électromagnétisme variable. Dans cette leçon, retenez le fait expérimental : il n'existe pas de charge magnétique isolée. On ne peut pas séparer un pôle nord d'un pôle sud ; coupé en deux, un aimant donne deux aimants complets, chacun avec ses deux pôles. C'est une différence radicale avec le champ électrique, où les charges positives et négatives existent séparément — et elle a une conséquence géométrique immédiate.

Les lignes de champ, et leur propriété la plus mal retenue. Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur $\vec{B}$, orientée dans le sens du champ. Elle rend visible la direction du champ ; dans une convention de tracé adaptée, le resserrement des lignes représente une intensité plus élevée. Une esquisse arbitraire ne donne pas une mesure quantitative de la norme.

Dans les cartes d’aimant et de spire représentées, les lignes dessinées forment des boucles. En général, l’absence de source magnétique n’impose pas que chaque ligne soit fermée : un champ uniforme possède des lignes droites prolongées hors du cadre, éventuellement à l’infini.

À l'extérieur d'un aimant droit, elles semblent sortir du pôle nord et entrer par le pôle sud ; mais elles traversent l'aimant du sud vers le nord et se referment. Dire qu'elles « partent d'un pôle et s'arrêtent à l'autre » est faux, et c'est la conséquence directe de l'inexistence des charges magnétiques isolées. Retenez aussi que dans une région régulière où B est non nul, deux lignes de champ distinctes ne se croisent pas : en un point de croisement, le champ aurait deux directions à la fois.

Ordres de grandeur, à connaître. Le tesla est une grande unité — les champs de la vie courante s'expriment en fractions de tesla.

Retenez surtout le premier : c'est l'étalon auquel on compare tout le reste. Un solénoïde de travaux pratiques produit un champ de l'ordre de vingt-cinq fois le champ terrestre — assez pour dominer une boussole, très loin d'un aimant de laboratoire.

Nord géographique et direction d’une boussole. Une petite aiguille libre s’aligne sur la projection horizontale locale non nulle du champ résultant, lorsque les autres couples et perturbations sont négligés. Elle indique le nord magnétique local, pas exactement le nord géographique : la déclinaison dépend du lieu et du temps. Dans le modèle dipolaire terrestre approché actuel, le pôle attirant l’extrémité nord de l’aiguille, proche du nord géographique, possède la polarité d’un sud d’aimant. Les pôles magnétiques et géographiques ne sont pas confondus.

Trois cartes de champ à reconnaître au premier coup d'œil.

L'aimant droit. À l'extérieur, les lignes s'évasent d'un pôle à l'autre en formant des boucles ; elles sont très serrées près des pôles — c'est là que le champ est le plus intense — et très écartées sur les côtés. À l'intérieur du barreau, elles reviennent du sud vers le nord. L'ensemble ne présente aucun début ni aucune fin.

La spire circulaire parcourue par un courant. Les lignes s'enroulent autour du fil et traversent la spire. Sur l'axe, le champ est perpendiculaire au plan de la spire ; son sens est donné par la règle de la main droite : les doigts enroulés dans le sens du courant, le pouce indique le sens de $\vec{B}$ sur l'axe. Vue de loin, la carte de champ d'une spire ressemble à celle d'un petit aimant droit — et ce n'est pas une coïncidence.

Le solénoïde. Un solénoïde est un enroulement de $N$ spires jointives régulièrement réparties sur une longueur $\ell$. Chaque spire contribue, et les contributions s'ajoutent à l'intérieur tandis qu'elles se compensent largement à l'extérieur. Résultat : à l'intérieur d'un solénoïde long, loin des extrémités, les lignes de champ sont des droites parallèles et régulièrement espacées — le champ y est approximativement uniforme pour un bobinage suffisamment long dans la région considérée, c'est-à-dire de même direction, même sens et même norme en tout point de cette région. À l'extérieur, le champ est faible et les lignes se referment en s'évasant, exactement comme pour un aimant droit.

Uniforme ne veut pas dire constant. Un champ uniforme est le même en tout point d'une région, à un instant donné ; un champ constant ne change pas au cours du temps. Le champ à l'intérieur d'un solénoïde alimenté par un courant continu est approximativement uniforme dans la zone centrale et constant dans le temps si le courant établi reste constant, mais ce sont bien deux propriétés distinctes, et un énoncé qui demande « où le champ est-il uniforme ? » ne demande pas la même chose que « le champ est-il permanent ? ».

Le champ du solénoïde long, admis.

Pour un solénoïde long — longueur très grande devant le rayon, bobinage serré sans noyau magnétique, dans le vide ou l’air assimilé au vide — le champ à l'intérieur, loin des extrémités, vaut

$$B \approx \mu_0\,n\,I,$$

où $n = \dfrac{N}{\ell}$ est le nombre de spires par mètre et $\mu_0 \approx 4\pi\times10^{-7}$ $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$ la valeur approchée fournie de la perméabilité magnétique du vide, et non une constante exactement égale à4π10⁻⁷ dans le SI actuel.

Ce résultat est admis ici : sa démonstration relève du théorème d'Ampère, qui n'est pas l'objet de cette leçon. Trois lectures s'imposent. Dans la limite du solénoïde infini, $B$ ne dépend pas du rayon du solénoïde : un bobinage large et un bobinage étroit, de même densité de spires et parcourus par le même courant, produisent le même champ dans cette limite ; pour un solénoïde fini, le rayon intervient. Ensuite, ce qui compte n'est pas le nombre de spires mais leur densité : mille spires sur un mètre et cinq cents spires sur cinquante centimètres donnent le même champ. Enfin, $B$ est proportionnel à $I$ : doubler le courant double le champ, ce qui fait du solénoïde une source de champ réglable — sa qualité principale au laboratoire.

La boussole, détecteur de la superposition. Une aiguille aimantée libre de tourner dans un plan horizontal s'aligne sur le champ résultant dans ce plan. Sans source locale perturbatrice, ce champ est la composante horizontale du champ terrestre, $B_h \approx 2\times10^{-5}$ T, et l’aiguille indique la direction magnétique locale. Plaçons maintenant la boussole au centre d'un solénoïde dont l'axe est perpendiculaire au méridien magnétique : elle subit deux champs orthogonaux, $B_h$ selon la direction magnétique locale et $B$ selon l'axe du solénoïde. Le champ résultant fait avec cette direction un angle $\alpha$ tel que

La boussole cesse d'être une simple aiguille : elle devient un appareil de mesure, puisque lire $\alpha$ donne $B$ à condition de connaître $B_h$. C'est le principe de la boussole des tangentes, et c'est le meilleur argument pour comprendre que le champ est vectoriel — un scalaire ne se composerait pas ainsi.

La composante magnétique de la force de Lorentz. Pour une particule ponctuelle de charge $q$ animée d'une vitesse $\vec{v}$, la force a pour norme

où $\theta$ est l'angle entre $\vec{v}$ et $\vec{B}$. Trois conséquences se lisent directement dans cette expression et suffisent à répondre à la plupart des questions de cours. (1) Une particule ponctuelle immobile ne subit aucune force magnétique translationnelle de ce modèle, puisque $v = 0$ : c'est la différence la plus nette avec le champ électrique. (2) Une charge qui se déplace parallèlement au champ n'en subit pas non plus, puisque $\sin 0 = 0$. (3) La force est maximale quand la vitesse est perpendiculaire au champ. Un objet neutre peut cependant interagir magnétiquement par ses moments et les gradients du champ : un aimant ou du fer ne se réduit pas au modèle d’une charge ponctuelle sans moment.

Énoncé. Bobinage serré sans noyau magnétique, air assimilé au vide et courant établi constant : un solénoïde de travaux pratiques comporte $N = 1\,000$ spires régulièrement réparties sur une longueur $\ell = 0{,}50$ m ; son rayon est $R = 1{,}5$ cm. Il est parcouru par un courant d'intensité $I = 0{,}50$ A. On donne $\mu_0 \approx 4\pi\times10^{-7}$ $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$, le champ magnétique terrestre $B_{\text{Terre}} = 5\times10^{-5}$ T et sa composante horizontale $B_h = 2\times10^{-5}$ T.

1. Vérifier que le solénoïde peut être assimilé à un solénoïde long, puis calculer le champ à l'intérieur, loin des extrémités.
2. Comparer ce champ au champ magnétique terrestre.
3. Quelle intensité faudrait-il pour obtenir un champ de $5{,}0$ mT ?
4. On place une petite boussole au centre du solénoïde, dont l'axe est horizontal et perpendiculaire au méridien magnétique. Le courant est réduit à $I' = 20$ mA. De quel angle l'aiguille est-elle déviée par rapport au nord magnétique local ?

---

1. Le champ à l'intérieur.

Condition de validité, d'abord. Nous choisissons ici ℓ≥20R comme critère pratique d’approximation, pas comme définition universelle : au centre d’un bobinage fini idéal, le facteur correctif vaut ℓ/√(ℓ²+4R²), soit environ0,995 pour ℓ=20R. Ici $20R = 20 \times 1{,}5\times10^{-2} = 0{,}30$ m, et $\ell = 0{,}50$ m $> 0{,}30$ m. Le critère choisi est rempli : on retient l’approximation du solénoïde long avec une précision à confronter au besoin, et on la mentionne AVANT d'appliquer la formule.

Densité de spires.

Attention à l'unité : $n$ est un nombre de spires par mètre, pas un nombre de spires.

Champ.

Soit environ $1{,}3$ mT. Contrôle d'homogénéité : $\mu_0$ est en $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$, $n$ en $\mathrm{m^{-1}}$, $I$ en A — le produit est bien en tesla. $\checkmark$ Et l'ordre de grandeur, $10^{-3}$ T, est celui d'un solénoïde de travaux pratiques. $\checkmark$

2. Comparaison au champ terrestre.

Le champ du solénoïde vaut environ vingt-cinq fois le champ terrestre. Ce rapport est sans unité — c'est un contrôle : si vous trouviez des teslas, vous auriez oublié de diviser. Il explique aussi pourquoi une boussole placée dans le solénoïde s'aligne presque entièrement sur son axe : le champ terrestre y est marginal.

3. L'intensité pour un champ visé. La relation $B = \mu_0 n I$ est linéaire en $I$, donc

Contrôle par proportionnalité, sans calculatrice. On veut $5{,}0$ mT au lieu de $1{,}26$ mT, soit environ quatre fois plus ; il faut donc environ quatre fois plus de courant que $0{,}50$ A, c'est-à-dire $2{,}0$ A. $\checkmark$ Deux ampères dans un fil de bobinage fin, c'est déjà beaucoup : un tel réglage demande de surveiller l'échauffement.

4. La déviation de la boussole.

Champ créé par le solénoïde avec le nouveau courant.

Composition des deux champs. L'aiguille est soumise à deux champs horizontaux et perpendiculaires : $B_h = 2\times10^{-5}$ T vers le nord magnétique local, et $B' = 5{,}03\times10^{-5}$ T selon l'axe du solénoïde. Elle s'aligne sur leur somme vectorielle, qui fait avec cette direction un angle $\alpha$ tel que

d'où

Contrôle. La déviation devait être supérieure à $45°$, puisque le champ du solénoïde l'emporte sur la composante horizontale terrestre ; et inférieure à $90°$, qui ne serait atteint que si le champ terrestre était nul. La valeur $68°$ est bien encadrée. $\checkmark$ Remarquez enfin qu'on a utilisé $B_h$, la composante horizontale, et non le champ terrestre total : l'aiguille tourne dans un plan horizontal, seule la projection dans ce plan la fait tourner.

Contrôle général. Quatre réflexes. (a) Vérifier la condition « solénoïde long » avant d'appliquer la formule, et le dire. (b) Calculer $n$ en spires par mètre, jamais confondre avec $N$. (c) Écrire l'unité de chaque résultat : tesla pour un champ, sans unité pour un rapport, degré pour un angle. (d) Comparer systématiquement au champ terrestre : c'est l'étalon qui rend une valeur en tesla parlante.

Lisez les quatre panneaux existants. Les boucles de l’aimant et de la spire représentent ces cartes particulières, sans imposer que chaque ligne d’un champ quelconque soit fermée. Le sens est porté par les flèches ; les densités dessinées sont une convention de représentation.

Le solénoïde illustré mesure192 px de long pour24 px de rayon, soit ℓ=8R : ce n’est pas géométriquement le critère ℓ≥20R choisi pour les exercices. Le champ central est seulement approché uniforme ; la formule infinie ignore la correction de longueur finie (facteur central environ0,970 pour8R). Les lignes peuvent sortir du cadre.

La boussole du dessin utilise Bh=20 µT et Bprime=15 µT, donc tanα=0,75 et α≈37° : c’est un exemple distinct du calcul68° du bloc précédent. L’aiguille suit la projection horizontale non nulle du champ résultant, sous les hypothèses de faible perturbation et de liberté de rotation.