L'énergie mécanique : ce qui se conserve, et quand

Considérez une bille modélisée par un point matériel glissant sans rotation sur un toboggan fixe et lisse. En haut, elle est immobile mais haute ; en bas, elle est rapide mais au niveau du sol. Quelque chose est passé d'une forme à l'autre : la hauteur s'est transformée en vitesse. Cette leçon donne un nom à ce « quelque chose », en fait une grandeur calculable, et dit précisément quand elle se conserve.

Le premier réservoir : l'énergie cinétique. Vous la connaissez depuis la troisième, et la leçon précédente l'a reliée aux travaux : $E_c = \dfrac{1}{2} m v^2$, en joules, avec $v$ en mètres par seconde.

Le second réservoir : l'énergie potentielle de pesanteur. La leçon précédente a établi que le travail du poids ne dépend que de la dénivelée : $W_{AB}(\vec{P}) = m g (z_A - z_B)$. Une force dont le travail ne dépend pas du chemin est conservative, et pour une telle force on peut définir une énergie « en réserve », qui ne dépend que de la position. Pour le poids :

où $z$ est l'altitude du système au-dessus d'une origine choisie — le sol, le point le plus bas du trajet, une table. Le choix est libre, mais il doit être écrit, et il ne change jamais les différences d'énergie potentielle, seules physiquement significatives. Le travail du poids est alors l'opposé de la variation d'énergie potentielle : $W_{AB}(\vec{P}) = E_{pp}(A) - E_{pp}(B) = -\Delta E_{pp}$. Descendre libère de l'énergie potentielle ; monter en stocke.

Dans toute cette leçon, on étudie un point matériel ou un solide en translation de masse constante, dans un référentiel galiléen, sous un champ de pesanteur uniforme. La seule énergie potentielle comptabilisée est celle de pesanteur.

Énergie mécanique. Dans ce cadre, l’énergie mécanique est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur : $E_m = E_c + E_{pp}$, en joules.

Conservation. Si le système n'est soumis qu'à son poids, ou à des forces qui ne travaillent pas (réaction normale d’un support immobile, tension d’un fil idéal inextensible à point d’attache fixe), son énergie mécanique se conserve : $E_m(A) = E_m(B)$ pour tout couple de points du trajet. Lorsque seul le poids travaille, ce que perd un réservoir, l’autre le gagne exactement. L’absence de frottement seule ne suffit pas si une traction ou une autre force fournit du travail.

C'est une loi conditionnelle. La condition — aucune force non conservative ne travaille — n'est pas un détail à recopier, c'est ce qui autorise l'égalité. Dans les glissades étudiées sur support immobile, le glissement travaille négativement : si c’est la seule autre force qui travaille, la diminution d’énergie mécanique mesure son travail. Un frottement statique peut ne pas travailler ; un support mobile peut fournir de l’énergie. Les deux cas sont au programme, et chaque énoncé dit dans lequel il se place.

La démonstration tient en trois lignes. Le théorème de l'énergie cinétique, entre deux points $A$ et $B$, s'écrit $E_c(B) - E_c(A) = W_{AB}(\vec{P}) + W_{AB}(\text{autres forces})$. Or le travail du poids vaut $E_{pp}(A) - E_{pp}(B)$. En passant ce terme à gauche :

c'est-à-dire

Tout est là. Si les autres forces ne travaillent pas (réaction perpendiculaire au déplacement, absence de frottements), le membre de droite est nul et $E_m$ se conserve. Si seul le frottement de glissement sur support immobile travaille en plus du poids, son travail est négatif et $E_m$ diminue d’exactement cette quantité. Plus généralement, le bilan garde tous les travaux des forces qui ne sont pas déjà comptabilisées dans l’énergie potentielle choisie. La conservation n'est pas un postulat de plus : c'est le théorème de l'énergie cinétique, dans lequel on a rangé le poids du côté des énergies.

Le cas sans frottements : la masse s'efface. Un système lâché sans vitesse d'une hauteur $h$ (origine des altitudes au point bas) arrive en bas avec $\dfrac{1}{2} m v^2 = m g h$, soit

La masse a disparu : un plongeur de $50$ kg et un plongeur de $90$ kg lâchés de $10$ m arrivent à la même vitesse, $\sqrt{2 \times 9{,}81 \times 10} \approx 14$ m/s. Inversement, une balle lancée vers le haut à $v_0$ monte jusqu'à $h = \dfrac{v_0^2}{2 g}$, quelle que soit sa masse. Retenez la forme, mais retenez surtout sa condition — la même formule, avec des frottements, surestime la vitesse.

Le cas avec frottements : l'énergie ne disparaît pas. Si la vitesse mesurée en bas est plus faible que $\sqrt{2gh}$, l'écart entre $E_m(A)$ et $E_m(B)$ est le travail des frottements — un nombre négatif. La dissipation peut augmenter l’énergie interne du mobile et des corps avec lesquels il interagit (support, air). La chaleur désigne un transfert dû à une différence de température, pas une énergie stockée ; toute la diminution mécanique n’est donc pas automatiquement transférée comme chaleur à l’environnement. L'énergie totale se conserve toujours ; c'est l'énergie mécanique qui ne se conserve pas. Confondre les deux, c'est confondre un réservoir avec l'ensemble des réservoirs.

Ce que l'énergie mécanique ne dit pas. Elle relie deux états (un point de départ, un point d'arrivée) sans rien dire du trajet ni de sa durée : elle donne la vitesse au bas du toboggan, pas le temps de la descente, ni la forme de la trajectoire. Pour cela, il faut les lois du mouvement. Elle ne dit rien non plus des forces qui ne travaillent pas : la réaction du toboggan peut être énorme dans un creux, l'énergie mécanique n'en sait rien. C'est sa limite et sa force — un outil d'état, aveugle au détail du chemin.

Le pendule, cas d'école. Une bille ponctuelle au bout d’un fil idéal, sans masse et inextensible, dont le point d’attache est fixe : la tension du fil est à chaque instant perpendiculaire au mouvement (tangent au cercle), son travail est nul. Seul le poids travaille, et sans frottements l'énergie mécanique se conserve : la bille remonte exactement à la hauteur d'où on l'a lâchée, de l'autre côté — jamais plus haut. Qu'elle finisse par s'arrêter dans la réalité signe la présence des frottements de l'air et du pivot, dont le travail, négatif, use peu à peu la réserve.

Modèle. On assimile l’enfant à un point matériel glissant sur un support immobile dans un référentiel terrestre supposé galiléen. Aucun travail autre que celui du poids et, dans la seconde partie, du frottement dissipatif n’est retenu. On demande les résultats à trois chiffres significatifs par convention d’exercice.

Énoncé. Un enfant de masse $m = 35$ kg se laisse glisser, sans vitesse initiale, depuis le sommet $A$ d'un toboggan jusqu'à son pied $B$, situé $h = 4{,}5$ m plus bas. On prend l'origine des altitudes au point $B$. On donne $g = 9{,}81$ N/kg.

Questions. 1. Dans un premier temps, on néglige tout frottement. Calculer la vitesse de l'enfant en $B$. 2. En réalité, la vitesse mesurée en $B$ vaut $v_B = 7{,}0$ m/s. Calculer le travail des forces de frottement entre $A$ et $B$, et l'énergie dissipée.

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1. Sans frottements : conservation. Système : l'enfant. Forces : le poids (conservatif) et la réaction du toboggan, perpendiculaire au déplacement en l'absence de frottements, donc de travail nul. L'énergie mécanique se conserve : $E_m(A) = E_m(B)$.

En $A$ : $v_A = 0$ et $z_A = h$, donc $E_m(A) = 0 + m g h$. En $B$ : $z_B = 0$ (origine des altitudes), donc $E_m(B) = \dfrac{1}{2} m v_B^2 + 0$.

La masse s'est simplifiée : $35$ kg n'a servi à rien, et servirait à rien pour un adulte. Environ $34$ km/h au bas d'un toboggan de $4{,}5$ m — c'est la vitesse « idéale », celle que les frottements vont rogner.

2. Avec frottements : bilan. Le trajet est le même, mais des frottements travaillent : l'énergie mécanique ne se conserve pas, et

Calcul de chaque état, en gardant les valeurs exactes :

Le travail des frottements vaut environ $-688$ J : négatif, dans ce modèle de glissement sur support immobile. L'énergie dissipée — sa valeur absolue — est d'environ $688$ J, convertie notamment en énergie interne du mobile, du toboggan et de l’air, sans attribuer toute cette énergie à un seul corps.

3. Lire le résultat. Sur les $1545$ J de réserve potentielle, $857$ J sont devenus de la vitesse et $688$ J ont été dissipés, notamment en énergie interne du mobile, du support et de l’air, sans répartition imposée : les frottements ont prélevé $44$ % de l'énergie mécanique. La vitesse « idéale » de $9{,}40$ m/s est devenue $7{,}0$ m/s — et non $9{,}40 \times 0{,}56$, car l'énergie va comme le carré de la vitesse.

4. Contrôler. Signe négatif du travail des frottements ✔. $E_m(B) < E_m(A)$ ✔. Origine des altitudes citée et utilisée ($z_B = 0$) ✔. Arrondi fait en dernier, à trois chiffres significatifs selon la convention demandée ✔.

Les deux panneaux comparent les mêmes hauteurs et la même origine d’énergie potentielle. À gauche, seul le poids travaille : les barres cinétique et potentielle échangent leur contenu, avec une somme constante. À droite, le glissement dissipatif sur support immobile réduit l’énergie mécanique jusqu’à 857,5 J au point bas, contre environ1545 J initialement.

La zone pointillée représente la dissipation d’environ688 J, susceptible d’augmenter les énergies internes du mobile, du support et de l’air. La barre intermédiaire est illustrative : on suppose la moitié du travail dissipatif effectuée à mi-hauteur, sans la déduire de la longueur du chemin dessiné. La chaleur ne désigne pas une énergie stockée dans cette zone.