La décroissance radioactive : une loi statistique

Tu sais depuis la seconde décrire un noyau par sa notation : $^{A}_{Z}\mathrm{X}$, où $Z$ est le nombre de protons et $A$ le nombre de nucléons, protons et neutrons réunis. Deux noyaux de même $Z$ et de $A$ différents sont des isotopes du même élément. Ce que tu n'avais pas vu, c'est que certains de ces noyaux ne durent pas.

Le problème. Dans un noyau, les protons se repoussent — ils portent tous une charge positive — et pourtant le noyau tient. Il tient grâce à une autre interaction, l'interaction forte, qui attire entre eux tous les nucléons mais n'agit qu'à très courte distance. L'équilibre entre cette attraction de proximité et la répulsion électrique dépend de la composition du noyau : pour certaines combinaisons de $Z$ et de $A$, il est stable, indéfiniment ; pour d'autres, il ne l'est pas. Un noyau instable finit par se transformer spontanément en émettant une particule : c'est une désintégration radioactive, et le noyau qui la subit est dit radioactif.

Le mot « spontanément » est essentiel. Une désintégration n'est provoquée par rien : ni par la température, ni par la pression, ni par une réaction chimique, ni par ce que fait le voisinage. On ne peut ni l'accélérer ni la retarder. C'est ce qui distingue la radioactivité, phénomène naturel connu depuis les travaux de Becquerel et des Curie à la fin du dix-neuvième siècle, de toute technologie : elle se produit dans les roches, dans l'air, dans les aliments et dans ton propre corps, en permanence, depuis bien avant qu'on sache la mesurer.

Les trois modes de désintégration au programme. Chacun émet une particule différente, et chacun transforme le noyau père en un noyau fils différent.

• La radioactivité alpha : le noyau éjecte un noyau d'hélium 4, appelé particule alpha et noté $^{4}_{2}\mathrm{He}$. Le noyau perd donc $4$ nucléons et $2$ charges. C'est le mode des noyaux très lourds, comme le radium 226 ou l'uranium 238.
• La radioactivité bêta moins : un neutron du noyau se transforme en proton, et le noyau éjecte un électron, noté $^{0}_{-1}\mathrm{e}$. Le nombre de nucléons ne change pas, le nombre de charges augmente de $1$. C'est le mode du carbone 14, de l'iode 131, du césium 137, du cobalt 60.
• La radioactivité bêta plus : un proton du noyau se transforme en neutron, et le noyau éjecte un positon, noté $^{0}_{1}\mathrm{e}$, particule de même masse que l'électron mais de charge opposée. Le nombre de nucléons ne change pas, le nombre de charges diminue de $1$. C'est le mode du fluor 18, utilisé en imagerie médicale.

Deux lois gouvernent l'écriture de toute équation de désintégration, appelées lois de conservation de Soddy : le nombre de nucléons $A$ et le nombre de charge $Z$ sont les mêmes avant et après la flèche. Elles suffisent à trouver le noyau fils sans rien connaître d'autre. Par exemple, pour le carbone 14, émetteur bêta moins :

Vérifie : en haut, $14 = 14 + 0$ ; en bas, $6 = 7 + (-1)$. Le noyau fils a $Z = 7$, c'est donc de l'azote — le numéro atomique, et lui seul, décide de l'élément chimique. Pour le radium 226, émetteur alpha :

avec $226 = 222 + 4$ et $88 = 86 + 2$ : le noyau fils est du radon 222. Et pour le fluor 18, émetteur bêta plus :

Souvent, le noyau fils est produit dans un état excité et se débarrasse de son excédent d'énergie en émettant un rayonnement gamma, qui est de la lumière très énergétique. Ce rayonnement ne change ni $A$ ni $Z$ : il n'apparaît donc pas dans les équations que tu auras à écrire. C'est lui qu'on détecte en imagerie médicale avec le technétium 99 métastable.

Le fait le plus déroutant : une désintégration est imprévisible. Prends un noyau de carbone 14 isolé et observe-le. Il peut se désintégrer dans la seconde qui vient, ou dans dix mille ans. Rien, dans ce noyau, ne permet de le dire, et rien en lui ne « compte le temps » : un noyau de carbone 14 formé hier et un autre formé il y a vingt mille ans ont exactement la même probabilité de se désintégrer dans la minute qui vient. Un noyau ne vieillit pas.

Cette probabilité par unité de temps est la même pour tous les noyaux d'un même nucléide, et c'est une caractéristique de ce nucléide : on l'appelle la constante radioactive, notée $\lambda$, et elle s'exprime en $\mathrm{s}^{-1}$, c'est-à-dire par seconde.

De l'imprévisible individuel au prévisible collectif. Voilà le renversement à comprendre. On ne peut rien dire d'un noyau, mais on peut tout dire d'un échantillon — parce qu'un échantillon en contient des milliards de milliards. Si chaque noyau a la même petite probabilité $\lambda$ de disparaître pendant une seconde, alors, sur $N$ noyaux présents, il en disparaît en moyenne $\lambda N$ par seconde. Le nombre de disparitions est proportionnel au nombre de noyaux restants : moins il en reste, moins il en disparaît. Une décroissance de ce type est une décroissance exponentielle, exactement comme celle que tu connais en mathématiques.

Loi de décroissance radioactive. Si un échantillon contient $N_0$ noyaux radioactifs à l'instant $t = 0$, le nombre de noyaux restants à l'instant $t$ est

$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t},$$

où $\lambda$ est la constante radioactive du nucléide, en $\mathrm{s}^{-1}$, et $t$ la durée écoulée, en secondes.

C'est une loi statistique : elle décrit le comportement moyen d'une population immense, pas le destin d'un noyau. Le hasard individuel n'empêche pas la régularité collective — c'est exactement la même idée qu'un sondage, où l'on ne sait rien d'un électeur et beaucoup d'un électorat.

Pourquoi une exponentielle, en une ligne. Pendant une durée très courte $\Delta t$, le nombre de noyaux qui disparaissent vaut $\lambda N \Delta t$. La variation du nombre de noyaux est donc $\Delta N = -\lambda N \Delta t$, ce qui s'écrit, en passant à la limite, $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$. Or une fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même est une exponentielle : c'est le théorème que t'a donné le cours de mathématiques, et la solution qui vaut $N_0$ à l'instant zéro est bien $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$. Au lycée, on admet ce passage ; ce qui est exigible, c'est de savoir utiliser la loi.

La demi-vie : une durée qui parle. La constante radioactive est peu parlante — que dire de $7{,}30 \times 10^{-10}$ par seconde ? On lui préfère une durée, la demi-vie $t_{1/2}$, définie comme la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés. On l'obtient en écrivant $N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$ :

Les deux grandeurs sont donc deux écritures de la même information, en sens inverse : une constante radioactive grande correspond à une demi-vie courte, donc à un nucléide qui se désintègre vite — et non à un nucléide plus stable. Attention à l'unité : $\lambda$ s'exprime en $\mathrm{s}^{-1}$, donc la demi-vie doit être convertie en secondes avant tout calcul de $\lambda$. On utilise pour cela $1$ an $= 3{,}156 \times 10^{7}$ s.

La règle des demi-vies successives. Après une demi-vie il reste la moitié des noyaux, après deux demi-vies la moitié de la moitié, et ainsi de suite : après $n$ demi-vies, il reste

D'où le tableau qu'il faut savoir reconstituer de tête.

Retiens surtout ce que ce tableau ne dit pas : il n'y a jamais de ligne à zéro. La fraction restante est toujours positive, aussi petite soit-elle. Un déchet radioactif ne « disparaît » pas au bout de deux demi-vies : il en reste un quart.

Des demi-vies sur douze ordres de grandeur. Elles vont de la fraction de seconde au milliard d'années, et cette diversité explique tous les usages.

Note la cohérence : les nucléides à demi-vie de quelques heures ou de quelques jours servent en médecine, précisément parce qu'ils s'effacent vite ; ceux dont la demi-vie se compte en milliers ou en milliards d'années servent à dater, précisément parce qu'ils durent.

L'activité, ce qu'un compteur mesure. On ne compte jamais les noyaux d'un échantillon : on compte les désintégrations. L'activité $A$ d'un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde. Son unité est le becquerel, de symbole Bq : $1$ Bq vaut une désintégration par seconde. Puisqu'il disparaît $\lambda N$ noyaux par seconde,

et comme $N$ décroît exponentiellement, l'activité suit la même loi : $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$, divisée par deux à chaque demi-vie. C'est ce qui permet de raisonner sur des activités mesurées sans jamais compter un seul noyau.

Le becquerel est une unité minuscule, et c'est pourquoi les nombres qu'on lit paraissent énormes. Quelques ordres de grandeur utiles : un corps humain adulte a une activité d'environ $8 \times 10^{3}$ Bq, due surtout à son potassium 40 et à son carbone 14 ; un échantillon de travaux pratiques va de $10^{2}$ à $10^{6}$ Bq ; une dose médicale injectée se compte en centaines de millions de becquerels. Ces nombres ne mesurent pas un danger : le becquerel compte des désintégrations, il ne dit rien de l'énergie des particules émises, ni de la distance, ni du temps d'exposition, ni de la partie du corps concernée. Évaluer un risque demande d'autres grandeurs, celles de la radioprotection, qui ne sont pas au programme de cette leçon. Retiens seulement qu'une activité élevée en becquerels et une dose reçue sont deux choses distinctes.

La datation, ou l'horloge intégrée. Puisque la décroissance ne dépend d'aucune condition extérieure, un nucléide radioactif est une horloge inaltérable. Le principe est toujours le même : on compare ce qui reste à ce qu'il y avait au départ.

Pour le carbone 14, l'idée est celle-ci. Ce nucléide se forme en permanence dans la haute atmosphère, et la proportion de carbone 14 par rapport au carbone 12 y est supposée constante au cours du temps. Un être vivant échange du carbone avec son milieu : tant qu'il vit, cette proportion reste chez lui la même que dans l'atmosphère. À sa mort, les échanges cessent ; le carbone 14 qu'il contient se désintègre sans être remplacé, et la proportion diminue. La mesurer, c'est mesurer le temps écoulé depuis la mort. En isolant $t$ dans la loi de décroissance :

La méthode a un domaine de validité, et il faut savoir le dire : avec une demi-vie de $5\,730$ ans, il ne reste qu'environ $1\ \%$ du carbone 14 initial au bout d'une quarantaine de milliers d'années. Au-delà, la quantité restante devient trop faible pour être mesurée avec précision : le carbone 14 ne date pas une roche ni un fossile de dinosaure. Pour les âges géologiques, on emploie d'autres couples de nucléides, dont les demi-vies se comptent en milliards d'années — l'uranium 238 ou le potassium 40. Une horloge se choisit à l'échelle du temps qu'on veut mesurer.

En médecine, la même loi dans l'autre sens. Quand on injecte à un patient une dose de traceur ou de radioélément thérapeutique, la question n'est plus « quel âge ? » mais « combien de temps ? ». On cherche la durée au bout de laquelle l'activité est tombée à une valeur donnée. Si le facteur de division est une puissance de $2$, la réponse est immédiate : diviser par $8$ demande exactement trois demi-vies. Sinon, on repasse par le logarithme, avec la même relation que pour la datation.

Trois calculs qui se suivent, sur les nucléides de la table ci-dessus. On donne $1$ an $= 3{,}156 \times 10^{7}$ s, $\ln 2 \approx 0{,}693$ et $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol⁻¹.

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Situation 1 — compter les demi-vies.

La demi-vie de l'iode 131 vaut $t_{1/2} = 8{,}02$ jours. Quelle fraction des noyaux d'un échantillon reste-t-il au bout de $t = 32{,}08$ jours ?

Résolution. Compte d'abord les demi-vies écoulées :

Il s'est donc écoulé exactement quatre demi-vies. À chaque demi-vie, le nombre de noyaux restants est divisé par deux :

Lecture. Il reste $6{,}25\ \%$ des noyaux — pas zéro. Et les $93{,}75\ \%$ manquants n'ont pas disparu de l'échantillon : ils s'y trouvent encore, sous forme de noyaux fils, ici du xénon 131, qui est stable. Une désintégration transforme la matière, elle ne l'efface pas.

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Situation 2 — de la demi-vie à la constante radioactive.

La demi-vie du césium 137 vaut $t_{1/2} = 30{,}1$ ans. Calculer sa constante radioactive $\lambda$, en $\mathrm{s}^{-1}$, avec trois chiffres significatifs.

Résolution. La relation est $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$. Comme $\lambda$ doit s'exprimer par seconde, la demi-vie se convertit d'abord en secondes :

Puis :

Lecture. Chaque noyau de césium 137 a environ sept chances sur dix milliards de se désintégrer pendant une seconde donnée. C'est infime pour un noyau — et considérable pour un échantillon, qui en contient des milliers de milliards.

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Situation 3 — l'activité d'un échantillon.

Un échantillon contient une masse $m = 20$ ng de césium 137, de masse molaire $M \approx 137$ g/mol. Calculer son activité $A$, en becquerels, avec trois chiffres significatifs.

Résolution. L'activité est $A = \lambda N$ : il faut donc le nombre de noyaux, puis la constante radioactive obtenue à la situation précédente.

1. Nombre de noyaux. La masse en grammes vaut $m = 20$ ng $= 2{,}0 \times 10^{-8}$ g. Alors

2. Activité.

et, en conservant les valeurs non arrondies jusqu'au bout, $A \approx 6{,}41 \times 10^{4}$ Bq.

Lecture. Vingt nanogrammes — une masse invisible à l'œil — produisent plus de soixante mille désintégrations par seconde. C'est l'ordre de grandeur d'une source de travaux pratiques, une dizaine de fois l'activité naturelle d'un corps humain. Et cette activité décroîtra de moitié tous les trente ans : c'est ce qui rend le césium 137 gênant après un accident, non son activité initiale mais sa persistance.

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Contrôler ses résultats. Trois réflexes. La constante radioactive est-elle bien en $\mathrm{s}^{-1}$, la demi-vie ayant été convertie en secondes ? Le produit $\lambda N$ est-il en becquerels — un nombre par seconde multiplié par un nombre de noyaux ? Et la fraction restante est-elle comprise entre $0$ et $1$, strictement supérieure à zéro ? Une fraction restante nulle, ou une activité négative, signale toujours une erreur d'exposant.

Figure (fig.physics.radioactive-decay, SVG programmatique à produire) : un grand graphique à gauche, une frise de modes de désintégration à droite, un bandeau de datation en bas.

La figure en détail : la partie gauche de la figure est un graphique dont l'axe horizontal porte le temps, gradué non pas en unités de durée mais en nombres de demi-vies écoulées, de zéro à six, et dont l'axe vertical porte la fraction de noyaux restants, de zéro à cent pour cent, les deux axes partant de l'origine. Une courbe lisse et décroissante part du point à cent pour cent et s'aplatit progressivement sans jamais toucher l'axe horizontal. Sept points sont marqués sur la courbe et reliés à l'axe vertical par des pointillés, aux valeurs cent, cinquante, vingt-cinq, douze virgule cinq, six virgule vingt-cinq, trois virgule cent vingt-cinq et un virgule cinq mille six cent vingt-cinq pour cent. À chaque intervalle entre deux points consécutifs, une accolade porte la mention que la quantité restante a été divisée par deux, et toutes ces accolades ont la même largeur horizontale, ce qui montre que la division par deux prend toujours la même durée. Une flèche pointe vers la partie droite de la courbe avec la mention que la courbe n'atteint jamais zéro, et une case barrée d'une croix montre une droite descendante qui couperait l'axe, avec la mention que la décroissance n'est pas linéaire.

La partie droite empile trois vignettes, une par mode de désintégration. La première montre un gros noyau qui éjecte un petit groupe de deux protons et deux neutrons, avec l'équation du radium 226 donnant du radon 222 et une particule alpha, et deux étiquettes indiquant que le nombre de nucléons diminue de quatre et le nombre de charges de deux. La deuxième montre un noyau dans lequel un neutron devient un proton tandis qu'un électron est éjecté, avec l'équation du carbone 14 donnant de l'azote 14 et un électron, et les étiquettes indiquant que le nombre de nucléons ne change pas et que le nombre de charges augmente de un. La troisième montre un noyau dans lequel un proton devient un neutron tandis qu'un positon est éjecté, avec l'équation du fluor 18 donnant de l'oxygène 18 et un positon, et les étiquettes indiquant que le nombre de nucléons ne change pas et que le nombre de charges diminue de un. Dans les trois vignettes, les protons et les neutrons se distinguent par leur remplissage et par une lettre, jamais par la seule couleur.

Le bandeau du bas illustre la datation au carbone 14 par une frise horizontale du temps allant de zéro à cinquante mille ans, sur laquelle sont placés quelques repères d'âge et, au-dessus de chacun, la proportion de carbone 14 restante correspondante. Une zone grisée couvre la partie de la frise au-delà de quarante mille ans environ, avec la mention qu'il reste alors moins d'un pour cent du carbone 14 initial et que la méthode atteint sa limite. À droite de la frise, une petite courbe rappelle que la proportion de carbone 14 d'un organisme reste constante tant qu'il vit, puis décroît à partir de sa mort.

Ce qu'il faut lire. Le graphique de gauche contient à lui seul l'essentiel : les accolades de même largeur montrent que la demi-vie est une durée constante, et l'aplatissement de la courbe montre qu'aucune demi-vie ne mène à zéro. La colonne de droite met les trois modes en regard : ce qui change d'un mode à l'autre, ce sont les deux nombres qu'emporte la particule, et ce sont eux, à travers les deux lois de conservation, qui déterminent le noyau fils. Le bandeau du bas rappelle enfin qu'une horloge radioactive a un domaine de validité, et qu'au-delà elle ne mesure plus rien.

Attention à une notation qui se recouvre. La lettre $A$ désigne le nombre de nucléons dans la notation d'un noyau, et l'activité dans la loi $A = \lambda N$. Le contexte les sépare sans ambiguïté — l'un est un entier écrit en haut à gauche d'un symbole chimique, l'autre est une grandeur en becquerels —, mais mieux vaut le savoir avant de le rencontrer.

Les trois particules émises.

Les conversions à ne pas oublier. $1$ an $= 3{,}156 \times 10^{7}$ s ; $1$ jour $= 86\,400$ s ; $1$ heure $= 3\,600$ s. La demi-vie doit être exprimée en secondes dès qu'on calcule une constante radioactive en $\mathrm{s}^{-1}$ ou une activité en becquerels. En revanche, dans un rapport de durées comme $t / t_{1/2}$, ou dans la relation de datation où $t$ et $t_{1/2}$ sont dans la même unité, aucune conversion n'est nécessaire.

Ce qui n'est pas au programme. Le traitement statistique fin d'un comptage — loi de Poisson, incertitude sur un nombre de coups —, les familles radioactives complètes et la radioprotection quantitative, avec ses unités de dose absorbée et de dose efficace, relèvent d'autres enseignements. Ici, on écrit des équations de désintégration, on exploite une loi exponentielle, et on distingue soigneusement une activité d'un risque.

1. Croire qu'après deux demi-vies il ne reste plus rien. Après deux demi-vies, il reste un quart des noyaux ; après trois, un huitième ; après dix, encore un millième environ. La suite $\dfrac{1}{2^{\,n}}$ ne s'annule jamais. Le raisonnement fautif consiste à additionner « la moitié puis la moitié font un tout » : la seconde moitié se prend sur ce qui reste, pas sur le total initial.
2. Confondre la demi-vie et la constante radioactive. Elles varient en sens inverse : $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$. Un grand $\lambda$ signifie une désintégration rapide, donc une demi-vie courte, donc un nucléide moins durable. Confondre les deux inverse toutes les conclusions d'un exercice.
3. Penser qu'un noyau « sait » quand il va se désintégrer. Aucun noyau ne vieillit, aucun ne porte de compteur. La demi-vie est une propriété statistique d'une population : elle ne prédit rien pour un noyau isolé. Dire « ce noyau a déjà cinq mille ans, il va bientôt se désintégrer » n'a aucun sens.
4. Oublier de convertir la demi-vie en secondes. Une constante radioactive s'exprime en $\mathrm{s}^{-1}$ : calculer $\ln 2$ divisé par une demi-vie en années donne un nombre par an, et une activité fausse d'un facteur trois cent millions. La conversion $1$ an $= 3{,}156 \times 10^{7}$ s doit apparaître comme une étape à part entière.
5. Croire que la décroissance dépend des conditions extérieures. Chauffer, refroidir, comprimer, dissoudre, faire réagir chimiquement : rien de tout cela ne modifie la demi-vie d'un nucléide. On ne peut donc ni « neutraliser » ni « accélérer » un déchet radioactif par des moyens chimiques — c'est la raison même du problème de leur stockage.
6. Prendre une activité en becquerels pour une mesure de danger. Le becquerel ne compte que des désintégrations par seconde. Un corps humain en produit environ $8 \times 10^{3}$ chaque seconde, en permanence, et se porte bien. Le risque dépend de l'énergie des particules, de la nature du rayonnement, de la durée d'exposition et de l'organe touché : ce sont d'autres grandeurs, d'autres unités.
7. Appliquer la datation au carbone 14 hors de son domaine. Elle ne vaut que pour des matières organiques ayant échangé du carbone avec l'atmosphère — bois, os, tissu, graine — et pour des âges de l'ordre de quelques demi-vies, soit jusqu'à une quarantaine de milliers d'années. Ni les roches, ni les fossiles anciens : pour ceux-là, on emploie l'uranium 238 ou le potassium 40.
8. Croire que le noyau fils est nécessairement stable. Il l'est parfois — l'azote 14 issu du carbone 14 — et souvent pas : le radium 226 donne du radon 222, lui-même radioactif, et la chaîne se poursuit sur plusieurs maillons avant d'atteindre un noyau stable. Une équation de désintégration décrit une étape, pas une fin.
9. Écrire une équation qui ne conserve pas $A$ ou $Z$. Les deux lois se vérifient en trois secondes : additionne les nombres du haut de part et d'autre de la flèche, puis ceux du bas. Une seule inégalité suffit à condamner l'équation. Et n'ajoute jamais un neutron « libéré » à droite d'une désintégration : ce sont les fissions qui libèrent des neutrons.
10. Confondre le noyau fils et la particule émise. Quand on demande le noyau fils d'une désintégration bêta moins, la réponse n'est pas l'électron : c'est ce qui reste du noyau père après l'émission. L'électron est ce qui part.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de cinq variantes. Il peut te donner une demi-vie et une durée multiple de celle-ci, et demander la fraction restante en pourcentage ou le nombre de noyaux restants ; ou demander la constante radioactive d'un nucléide à partir de sa demi-vie, en fournissant la conversion des années en secondes ; ou demander l'activité en becquerels d'un échantillon dont on donne la masse, la masse molaire et le nombre d'Avogadro ; ou proposer une datation au carbone 14 à partir de la proportion restante ; ou demander au bout de combien de temps l'activité d'une dose médicale d'iode 131 ou de technétium 99 métastable est tombée à une valeur donnée. Un modèle voisin, à choix multiples, porte sur l'équation de désintégration d'un nucléide ou sur son noyau fils, avec des propositions fausses qui violent chacune l'une des deux lois de conservation.

Énoncé type. Dans un fragment de charbon de bois trouvé lors de fouilles, le rapport du nombre de noyaux de carbone 14 au nombre de noyaux de carbone 12 ne vaut plus que $38{,}0\ \%$ de celui mesuré dans un organisme vivant. La demi-vie du carbone 14 vaut $t_{1/2} = 5\,730$ ans, et ce rapport est supposé constant dans l'atmosphère au cours du temps.

Estimer l'âge de l'échantillon. Répondre en années, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Traduire la situation. Tant que l'arbre vivait, il renouvelait son carbone 14 par ses échanges avec l'atmosphère, et la proportion restait constante. À sa mort, les échanges ont cessé : depuis, le carbone 14 se désintègre sans être remplacé, selon $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$. La proportion mesurée donne directement le rapport recherché :

2. Isoler la durée. On prend le logarithme népérien de la loi de décroissance :

puis on remplace $\lambda$ par $\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$, ce qui donne

Remarque : $t$ sort dans la même unité que $t_{1/2}$, ici l'année. Aucune conversion en secondes n'est nécessaire, puisque $\lambda$ n'apparaît plus.

3. Calculer. Le rapport $N_0/N$ est l'inverse de la fraction restante :

D'où

4. Interpréter. L'échantillon a environ huit mille ans. C'est un peu moins d'une demi-vie et demie, là où la méthode est la plus précise, puisqu'il reste encore près de quatre dixièmes du carbone 14 initial. Contrôle qualitatif : $38\ \%$ est compris entre $50\ \%$ (une demi-vie, soit $5\,730$ ans) et $25\ \%$ (deux demi-vies, soit $11\,460$ ans), donc l'âge doit se situer entre ces deux durées — et $8\,000$ ans y est bien.

Réponse : l'échantillon a environ $8\,000$ ans.

Auto-contrôle. Quatre questions. Ai-je pris le rapport dans le bon sens, c'est-à-dire l'initial divisé par le restant, donc un nombre supérieur à $1$ ? Mon logarithme est-il positif ? Mon résultat est-il encadré par les âges correspondant aux demi-vies entières qui entourent la fraction donnée ? Et l'ordre de grandeur reste-t-il sous la limite de la méthode, une quarantaine de milliers d'années ?