La décroissance radioactive : une loi statistique

Vous savez depuis la seconde décrire un noyau par sa notation : $^{A}_{Z}\mathrm{X}$, où $Z$ est le nombre de protons et $A$ le nombre de nucléons, protons et neutrons réunis. Deux noyaux de même $Z$ et de $A$ différents sont des isotopes du même élément. Ce que vous n’aviez pas vu, c'est que certains de ces noyaux ne durent pas.

Le problème. Dans un noyau, les protons se repoussent — ils portent tous une charge positive — et pourtant le noyau tient. Il tient grâce à une autre interaction, l'interaction forte, qui attire entre eux tous les nucléons mais n'agit qu'à très courte distance. L'équilibre entre cette attraction de proximité et la répulsion électrique dépend de la composition du noyau : pour certaines combinaisons de $Z$ et de $A$, il est considéré stable dans ce modèle ; pour d'autres, il ne l'est pas. Un noyau instable finit par se transformer spontanément en émettant une particule : c'est une désintégration radioactive, et le noyau qui la subit est dit radioactif.

Le mot « spontanément » distingue la transformation radioactive des réactions nucléaires provoquées. La radioactivité existe dans des nucléides naturels et dans des nucléides produits artificiellement. Dans les modes et conditions usuelles étudiés ici, la demi-vie ne varie pratiquement pas quand on chauffe, comprime ou fait réagir chimiquement la matière. Cette approximation n’est pas un théorème universel : certains modes, notamment la capture électronique, peuvent dépendre de l’environnement électronique. Cela ne fournit pas une méthode chimique générale de neutralisation des déchets radioactifs.

Trois modes étudiés ici. Les équations bêta ci-dessous omettent le neutrino ou l’antineutrino pour se concentrer sur les bilans de nucléons et de charge ; elles ne donnent donc pas tous les produits de la réaction. Chacun émet une particule différente, et chacun transforme le noyau père en un noyau fils différent.

• La radioactivité alpha : le noyau éjecte un noyau d'hélium 4, appelé particule alpha et noté $^{4}_{2}\mathrm{He}$. Le noyau perd donc $4$ nucléons et $2$ charges. C'est le mode des noyaux très lourds, comme le radium 226 ou l'uranium 238.
• La radioactivité bêta moins : un neutron du noyau se transforme en proton, et le noyau éjecte un électron, noté $^{0}_{-1}\mathrm{e}$. Le nombre de nucléons ne change pas, le nombre de charges augmente de $1$. C'est le mode du carbone 14, de l'iode 131, du césium 137, du cobalt 60.
• La radioactivité bêta plus : un proton du noyau se transforme en neutron, et le noyau éjecte un positon, noté $^{0}_{1}\mathrm{e}$, particule de même masse que l'électron mais de charge opposée. Le nombre de nucléons ne change pas, le nombre de charges diminue de $1$. C'est le mode du fluor 18, utilisé en imagerie médicale.

Deux lois gouvernent l'écriture de toute équation de désintégration, appelées lois de conservation de Soddy : le nombre de nucléons $A$ et le nombre de charge $Z$ sont les mêmes avant et après la flèche. Elles suffisent à trouver le noyau fils sans rien connaître d'autre. Par exemple, pour le carbone 14, émetteur bêta moins :

Vérifiez : en haut, $14 = 14 + 0$ ; en bas, $6 = 7 + (-1)$. Le noyau fils a $Z = 7$, c'est donc de l'azote — le numéro atomique, et lui seul, décide de l'élément chimique. Pour le radium 226, émetteur alpha :

avec $226 = 222 + 4$ et $88 = 86 + 2$ : le noyau fils est du radon 222. Et pour le fluor 18, émetteur bêta plus :

Souvent, le noyau fils est produit dans un état excité et se débarrasse de son excédent d'énergie en émettant un rayonnement gamma, qui est de la lumière très énergétique. Ce rayonnement ne change ni $A$ ni $Z$ : nous ne l’écrivons pas dans les équations simplifiées de cette leçon, mais il peut figurer dans une équation complète. C'est lui qu'on détecte en imagerie médicale avec le technétium 99 métastable.

Le fait le plus déroutant : une désintégration est imprévisible. Prenez un noyau de carbone 14 isolé et observez-le. Il peut se désintégrer dans la seconde qui vient, ou dans dix mille ans. Rien, dans ce noyau, ne permet de le dire, et rien en lui ne « compte le temps » : un noyau de carbone 14 formé hier et un autre formé il y a vingt mille ans ont exactement la même probabilité de se désintégrer dans la minute qui vient. Un noyau ne vieillit pas.

Le taux instantané de désintégration d’un noyau survivant est la constante radioactive $\lambda$, en $\mathrm{s}^{-1}$. Sur une durée $\Delta t$, la probabilité de désintégration vaut $1-e^{-\lambda\Delta t}$ ; lorsque $\lambda\Delta t$ est petit, elle est approchée par $\lambda\Delta t$. Ce taux est le même pour les noyaux d’un même nucléide dans le modèle retenu.

De l’imprévisible individuel au prévisible collectif. La date de transformation d’un noyau isolé n’est pas prédite ; sa probabilité l’est. Pour un grand ensemble de noyaux indépendants d’un même nucléide, sans apport ni évacuation, le taux moyen de disparition est $\lambda N$. La loi exponentielle décrit cette population moyenne ; un petit échantillon réel fluctue autour de cette moyenne.

Loi de décroissance radioactive. Si un échantillon contient $N_0$ noyaux radioactifs à l'instant $t = 0$, le nombre moyen de noyaux parents restants à l’instant $t$ est

$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t},$$

où $\lambda$ est la constante radioactive du nucléide, en $\mathrm{s}^{-1}$, et $t$ la durée écoulée, en secondes.

C'est une loi statistique : elle décrit le comportement moyen d'une population immense, pas le destin d'un noyau. Le hasard individuel n'empêche pas la régularité collective — les fluctuations relatives deviennent généralement faibles pour une grande population.

Pourquoi une exponentielle, en une ligne. Pendant une durée très courte $\Delta t$, le nombre moyen de noyaux qui disparaissent est approché par $\lambda N \Delta t$. La variation du nombre de noyaux est donc $\Delta N \approx -\lambda N \Delta t$, ce qui s'écrit, en passant à la limite, $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$. Or une fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même est une exponentielle : c'est le théorème que vous a donné le cours de mathématiques, et la solution qui vaut $N_0$ à l'instant zéro est bien $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$. Au lycée, on admet ce passage ; ce qui est exigible, c'est de savoir utiliser la loi.

La demi-vie : une durée qui parle. La constante radioactive est peu parlante — que dire de $7{,}30 \times 10^{-10}$ par seconde ? On lui préfère une durée, la demi-vie $t_{1/2}$, définie comme la durée au bout de laquelle, en moyenne, la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés. On l'obtient en écrivant $N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$ :

Les deux grandeurs sont donc deux écritures de la même information, en sens inverse : une constante radioactive grande correspond à une demi-vie courte, donc à un nucléide qui se désintègre vite — et non à un nucléide plus stable. Attention à l'unité : $\lambda$ s'exprime en $\mathrm{s}^{-1}$, donc la demi-vie doit être convertie en secondes avant tout calcul de $\lambda$. On utilise pour cela $1$ an $= 3{,}156 \times 10^{7}$ s.

La règle des demi-vies successives. Après une demi-vie il reste la moitié des noyaux, après deux demi-vies la moitié de la moitié, et ainsi de suite : après $n$ demi-vies, il reste

D'où le tableau qu'il faut savoir reconstituer de tête.

Ce tableau concerne une fraction moyenne, strictement positive à tout temps fini. Il ne garantit pas qu’un échantillon fini contienne encore un noyau parent : tous peuvent déjà avoir décru. Après deux demi-vies, la fraction moyenne restante est un quart, non zéro. Le critère de gestion d’un déchet ne se déduit pas du seul nombre de demi-vies.

Des demi-vies sur douze ordres de grandeur. Elles vont de la fraction de seconde au milliard d'années, et cette diversité explique tous les usages.

Des demi-vies courtes sont utiles pour certains usages médicaux ; une demi-vie longue permet certaines datations. Le choix dépend aussi du rayonnement, de la chimie, du protocole et de la mesure. La décroissance dans un patient combine en général transformation nucléaire et élimination biologique.

L’activité et le comptage. Un détecteur fournit un taux de comptage. Pour en déduire l’activité, il faut tenir compte de l’efficacité, de la géométrie, des émissions détectées et du bruit de fond. L'activité $A$ d'un échantillon est le taux moyen de désintégrations par seconde. Son unité est le becquerel, de symbole Bq : $1$ Bq vaut une désintégration par seconde. Puisqu'il disparaît $\lambda N$ noyaux par seconde,

et comme $N$ décroît exponentiellement, l'activité suit la même loi : $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$, divisée par deux à chaque demi-vie. C'est ce qui permet de raisonner sur des activités mesurées sans jamais compter un seul noyau.

Une activité en becquerels ne donne pas à elle seule un risque. Celui-ci dépend notamment des rayonnements, de leur énergie, de l’exposition et de la distribution dans le corps. Une comparaison de deux nombres de becquerels ne suffit donc pas à conclure à leur innocuité ou à leur danger relatif.

La datation, ou l'horloge intégrée. Dans le modèle retenu, le taux nucléaire est stable ; une datation exige aussi un inventaire fermé, une référence adaptée et, en pratique, une calibration. Le principe est toujours le même : on compare ce qui reste à ce qu'il y avait au départ.

Pour le carbone 14, l'idée est celle-ci. Ce nucléide se forme en permanence dans la haute atmosphère, et la proportion de carbone 14 par rapport au carbone 12 y est supposée constante au cours du temps. Un être vivant échange du carbone avec son milieu : tant qu'il vit, cette proportion reste chez lui la même que dans l'atmosphère. À sa mort, les échanges cessent ; le carbone 14 qu'il contient se désintègre sans être remplacé, et la proportion diminue. La mesurer, c'est mesurer le temps écoulé depuis la mort. En isolant $t$ dans la loi de décroissance :

Le modèle donne environ0,79 % de carbone14 restant après40000 ans. Ce repère ne constitue pas une limite instrumentale universelle. La portée pratique dépend du fond, de la contamination, du matériau et des incertitudes. La concentration atmosphérique a varié : une datation réelle exige une référence et une calibration, ainsi qu’un examen des effets de réservoir. Le calcul simplifié avec5730 ans et référence constante n’est pas automatiquement un âge archéologique calibré. Les très grandes échelles géologiques requièrent d’autres systèmes isotopiques.

Modèle médical simplifié. Pour appliquer la seule demi-vie physique à une quantité injectée, nous négligeons ici l’élimination biologique et tout apport, et nous suivons le nucléide parent. L’activité totale réelle peut aussi inclure des descendants radioactifs. Quand on injecte à un patient une dose de traceur ou de radioélément thérapeutique, la question n'est plus « quel âge ? » mais « combien de temps ? ». On cherche la durée au bout de laquelle l'activité est tombée à une valeur donnée. Si le facteur de division est une puissance de $2$, la réponse est immédiate : diviser par $8$ demande exactement trois demi-vies. Sinon, on repasse par le logarithme, avec la même relation que pour la datation.

Trois calculs qui se suivent, sur les nucléides de la table ci-dessus. On donne $1$ an $= 3{,}156 \times 10^{7}$ s, $\ln 2 \approx 0{,}693$ et $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol⁻¹.

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Situation 1 — compter les demi-vies.

La demi-vie de l'iode 131 vaut $t_{1/2} = 8{,}02$ jours. Quelle fraction des noyaux d'un échantillon reste-t-il au bout de $t = 32{,}08$ jours ?

Résolution. Comptez d’abord les demi-vies écoulées :

Il s'est donc écoulé exactement quatre demi-vies. À chaque demi-vie, le nombre de noyaux restants est divisé par deux :

Lecture. Il reste $6{,}25\ \%$ des noyaux — pas zéro. Les noyaux parents transformés ont donné des noyaux fils, ici du xénon131 stable ; ces produits restent dans l’échantillon seulement si celui-ci les retient. Une désintégration transforme la matière, elle ne l'efface pas.

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Situation 2 — de la demi-vie à la constante radioactive.

La demi-vie du césium 137 vaut $t_{1/2} = 30{,}1$ ans. Calculer sa constante radioactive $\lambda$, en $\mathrm{s}^{-1}$, avec trois chiffres significatifs.

Résolution. La relation est $\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$. Comme $\lambda$ doit s'exprimer par seconde, la demi-vie se convertit d'abord en secondes :

Puis :

Lecture. Chaque noyau de césium 137 a environ sept chances sur dix milliards de se désintégrer pendant une seconde donnée. C'est infime pour un noyau — et considérable pour un échantillon, qui en contient des milliers de milliards.

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Situation 3 — l'activité d'un échantillon.

Un échantillon contient une masse $m = 20$ ng de césium 137, de masse molaire $M \approx 137$ g/mol. Calculer son activité $A$, en becquerels, avec trois chiffres significatifs.

Résolution. L'activité est $A = \lambda N$ : il faut donc le nombre de noyaux, puis la constante radioactive obtenue à la situation précédente.

1. Nombre de noyaux. La masse en grammes vaut $m = 20$ ng $= 2{,}0 \times 10^{-8}$ g. Alors

2. Activité.

et, en conservant les valeurs non arrondies jusqu'au bout, $A \approx 6{,}41 \times 10^{4}$ Bq.

Lecture. Vingt nanogrammes donnent ici environ64000 désintégrations par seconde. L’activité physique du césium137 restant est divisée par deux en30,1 ans. Une évaluation de risque requiert en plus le type d’exposition et les rayonnements, et l’activité totale peut inclure le noyau fils.

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Contrôler ses résultats. Trois réflexes. La constante radioactive est-elle bien en $\mathrm{s}^{-1}$, la demi-vie ayant été convertie en secondes ? Le produit $\lambda N$ est-il en becquerels — un nombre par seconde multiplié par un nombre de noyaux ? Et la fraction restante est-elle comprise entre $0$ et $1$, strictement supérieure à zéro ? La fraction donnée par l’exponentielle moyenne doit être positive ; un comptage nul peut néanmoins se produire dans un échantillon fini. Une activité négative n’a pas de sens dans ce modèle.

Lisez la figure existante. Le graphique gauche trace la fraction moyenne $N/N_0=2^{-n}$, avec n en demi-vies. Les repères100,50,25 et12,5 % puis l’encadré des trois valeurs suivantes montrent une division répétée par deux. Les accolades de même largeur représentent une durée constante. La courbe moyenne reste positive : ce n’est pas la garantie qu’un petit échantillon garde toujours un noyau parent.

Les trois vignettes comparent alpha, bêta moins et bêta plus par les variations de A et Z. Les disques sont symboliques ; ils ne comptent pas tous les nucléons. Les équations bêta simplifiées omettent les neutrinos.

La frise du carbone14 utilise5730 ans et une référence constante. Sa zone sous1 % est un repère mathématique, pas une limite instrumentale universelle ; une datation réelle demande calibration et incertitudes. La petite courbe de droite illustre cette référence constante supposée pendant la vie, puis la décroissance après fermeture des échanges.