Énergie potentielle et stabilité d’un équilibre

Pour un mouvement unidimensionnel soumis à une force conservative, $F(x)=-dU/dx$. Un équilibre vérifie $U'(x_e)=0$. La stabilité locale dépend de la manière dont le potentiel varie autour de ce point : un minimum strict tend à ramener le système vers l'équilibre, un maximum favorise l'éloignement. L'énergie mécanique se conserve dans le modèle sans dissipation.

Si $U''(x_e)>0$, le développement quadratique donne $U\simeq U(x_e)+\tfrac12U''(x_e)(x-x_e)^2$. Les petites oscillations vérifient alors $m\ddot\xi+U''(x_e)\xi=0$, avec pulsation $\sqrt{U''(x_e)/m}$. Si la courbure est nulle, cette approximation ne permet pas de conclure : les termes d'ordre supérieur comptent.

Soit $U(x)=2x^2$ en joules lorsque $x$ est en mètres, pour une masse $m=0{,}5\ \mathrm{kg}$. La force est $F=-4x$ et l'équilibre $x_e=0$ est stable car $U''=4\ \mathrm{N\,m^{-1}}$. La pulsation vaut $\sqrt8\simeq2{,}83\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ et la période $2\pi/\sqrt8\simeq2{,}22\ \mathrm s$. Ici le potentiel est exactement quadratique : le modèle harmonique n'est pas seulement une approximation locale.

Le tableau suit dérivée première, dérivée seconde puis fréquence. La dérivée première localise l'équilibre ; la seconde classe ce cas non dégénéré et fixe la rigidité effective. Une valeur minimale du potentiel ne fournit pas directement une période sans connaître la masse.