États stationnaires et puits quantique infini

Un état stationnaire d'un Hamiltonien indépendant du temps possède une énergie définie $E$ et une dépendance temporelle de phase $e^{-iEt/\hbar}$. La densité de probabilité reste alors indépendante du temps. L'équation de Schrödinger stationnaire impose à la fonction spatiale les conditions du potentiel et les conditions aux limites.

Dans un puits infini unidimensionnel de largeur $L$, le potentiel est nul à l'intérieur et interdit l'extérieur. Les fonctions normalisées sont $\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$, avec $n\ge1$. Les énergies sont $E_n=n^2\pi^2\hbar^2/(2mL^2)$. L'absence de l'état $n=0$ vient des conditions et de la normalisation, pas d'un choix arbitraire d'indexation.

Dans un exemple où $E_1$ est fourni à $0{,}40\ \mathrm{eV}$, l'état $n=3$ possède $E_3=9E_1=3{,}60\ \mathrm{eV}$. Une transition de $n=3$ à $n=2$ libère $E_3-E_2=(9-4)E_1=2{,}00\ \mathrm{eV}$. Pour un photon émis, $h\nu$ égale cet écart, pas l'énergie du niveau final. Un doublement de largeur du puits divise tous les niveaux par quatre pour une masse inchangée.

Le tableau affiche les trois premières énergies en eV et l'énergie du photon de la transition3→2 ; leurs rapports à E1 se calculent dans le texte. Les écarts ne sont pas réguliers. La transition est une différence entre deux niveaux ; la densité d'un état est une autre information, obtenue par le module au carré de sa fonction d'onde.