Induction : Faraday et Lenz

Approchez un aimant d'une bobine reliée à un voltmètre : l'aiguille bouge. Arrêtez l'aimant : elle revient à zéro, même si l'aimant est tout près. Ce n'est pas le champ magnétique qui crée une tension dans un circuit, c'est sa variation à travers le circuit.

Le flux magnétique. Pour une spire plane d'aire $S$, orientée par une normale unitaire $\vec{n}$, dans un champ uniforme $\vec{B}$ :

en webers ($1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T \cdot m^{2}}$), où $\theta$ est l'angle entre $\vec{n}$ et $\vec{B}$. Pour une bobine de $N$ spires identiques, le flux total est $\Phi = N\,\Phi_1$. Le flux n'est pas le champ : il dépend aussi de la surface et de son orientation.

La loi de Faraday. Quand le flux à travers un circuit varie, une force électromotrice (f.é.m.) apparaît dans ce circuit :

où $e$ est comptée dans le sens de circulation associé à $\vec{n}$ par la règle de la main droite. Le flux peut varier de trois façons : le champ change (aimant qui bouge, courant qui varie dans un électro-aimant) ; l'aire du circuit change (barre qui glisse) ; l'orientation change (cadre qui tourne).

La loi de Lenz. Le signe moins a un sens physique : le courant induit, par ses effets, s'oppose à la cause qui lui donne naissance. Si le flux augmente, le courant induit crée un champ qui le diminue ; si le flux diminue, un champ qui le renforce. Si un mouvement est la cause, les forces de Laplace sur le courant induit freinent ce mouvement. Sans ce signe, l'induction amplifierait sa propre cause et créerait de l'énergie de rien.

Ce qui n'induit rien. Un champ constant à travers un circuit fixe et indéformable : flux constant, f.é.m. nulle — aussi intense que soit le champ.

Circuit fixe, champ variable. Une bobine de $N$ spires, de section $S$, a son axe parallèle à un champ uniforme $\vec{B}$ qui varie dans le temps ; on oriente $\vec{n}$ dans le sens de $\vec{B}$. Alors $\Phi = N B S$ et $e = -N S\,\dfrac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$. Si $B$ passe linéairement de $B_1$ à $B_2$ en $\Delta t$, la dérivée vaut le taux de variation :

Champ qui augmente : $e < 0$ ; champ qui diminue : $e > 0$. C'est Lenz, lu sur un signe.

Circuit mobile, champ constant : les rails de Laplace. Deux rails parallèles distants de $\ell$, fermés par une résistance $R$, et une barre qui glisse à la vitesse $v$, dans un champ $\vec{B}$ uniforme perpendiculaire au plan des rails. Si $x(t)$ est la position de la barre, l'aire du circuit est $\ell\,x(t)$ et, au signe de l'orientation près, $\Phi = B\ell x$. Le champ ne varie pas : c'est l'aire qui varie. En valeur absolue,

Le courant induit traverse la barre, placée dans $\vec{B}$ : elle subit une force de Laplace de norme $I\ell B$ qui, par Lenz, freine la barre. Pour maintenir $v$ constante, un opérateur doit fournir la puissance $I\ell B\,v = \dfrac{e^{2}}{R}$, exactement celle que la résistance dissipe. L'induction convertit de l'énergie mécanique en énergie électrique : c'est le principe de toute génératrice.

L'alternateur. Un cadre de $N$ spires, d'aire $S$, tourne à la fréquence $f$ dans un champ uniforme, perpendiculaire à l'axe de rotation. L'angle entre $\vec{n}$ et $\vec{B}$ vaut $\theta = 2\pi f t$ (s'il est nul à $t = 0$), donc

La f.é.m. est sinusoïdale, de même fréquence que la rotation, d'amplitude $e_{\max} = 2\pi f\,N B S$. Le champ est constant ; c'est l'orientation qui fait varier le flux. Doubler la fréquence double l'amplitude : c'est la vitesse de variation du flux qui compte.

Le transformateur idéal. Deux enroulements, $N_1$ et $N_2$ spires, sur un même circuit magnétique qui canalise le flux : chaque spire est traversée par le même flux $\Phi_1(t)$. La loi de Faraday donne dans chaque enroulement une f.é.m. $e_k = -N_k\,\dfrac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t}$ ; pour des enroulements sans résistance, la tension à leurs bornes (convention récepteur) vaut $u_k = N_k\,\dfrac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t}$. D'où

Un transformateur ne fonctionne qu'en régime variable : alimenté en continu, son flux serait constant et la tension secondaire nulle.

Énoncé.

1. Une bobine plate de $150$ spires, de section $12\ \mathrm{cm^{2}}$, a son axe parallèle à un champ uniforme $\vec{B}$. On oriente $\vec{n}$ dans le sens de $\vec{B}$. On coupe l'électro-aimant : le champ passe linéairement de $0{,}070$ T à $0$ en $0{,}040$ s. Calculer la f.é.m. induite, en valeur algébrique.
2. La même bobine, utilisée comme cadre d'alternateur, tourne à $40$ tours par seconde dans un champ de $0{,}35$ T perpendiculaire à son axe de rotation. Calculer l'amplitude de la f.é.m.
3. Sur des rails distants de $18$ cm, fermés par $R = 3{,}0\ \Omega$, une barre glisse à $3{,}0$ m/s dans un champ vertical de $0{,}35$ T. Calculer $e$, puis le courant et la force de freinage.

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1. Flux d'abord. $S = 12 \times 10^{-4} = 1{,}2 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^{2}}$. Le flux initial vaut $\Phi = N B_1 S = 150 \times 0{,}070 \times 1{,}2 \times 10^{-3} = 1{,}26 \times 10^{-2}$ Wb ; le flux final est nul. Faraday :

$e = -N S\,\dfrac{B_2 - B_1}{\Delta t} = -150 \times 1{,}2 \times 10^{-3} \times \dfrac{0 - 0{,}070}{0{,}040} = +0{,}315$ V.

Positive : le flux diminue, le courant induit circule dans le sens positif et crée un champ dans le sens de $\vec{B}$, qui s'oppose à la disparition du flux. Une fois le champ nul et constant, $e = 0$.

2. Alternateur. $NBS = 150 \times 0{,}35 \times 1{,}2 \times 10^{-3} = 6{,}3 \times 10^{-2}$ Wb.

$e_{\max} = 2\pi f\,NBS = 2\pi \times 40 \times 6{,}3 \times 10^{-2} \approx 15{,}8$ V.

Le champ est constant ; seule l'orientation du cadre change.

3. Rails. $e = B\ell v = 0{,}35 \times 0{,}18 \times 3{,}0 = 0{,}189$ V.

$I = \dfrac{e}{R} = \dfrac{0{,}189}{3{,}0} = 6{,}3 \times 10^{-2}$ A $= 63$ mA ; force de Laplace $F = I\ell B = 0{,}063 \times 0{,}18 \times 0{,}35 \approx 3{,}97 \times 10^{-3}$ N, opposée à la vitesse.

Bilan : puissance de l'opérateur $F v \approx 11{,}9$ mW, puissance Joule $\dfrac{e^{2}}{R} = \dfrac{0{,}189^{2}}{3{,}0} \approx 11{,}9$ mW. Les deux sont égales : l'énergie est conservée, comme Lenz l'exige.

Pour finir, un transformateur de $1\,000$ spires au primaire et $52$ au secondaire, sous $230$ V efficaces : $U_2 = 230 \times \dfrac{52}{1\,000} \approx 12{,}0$ V efficaces.

Figure (fig.physics.magnetic-field, figure programmatique de la leçon sur le champ magnétique, réutilisée ici parce qu'un flux se lit comme un nombre de lignes de champ traversant un circuit) : quatre panneaux.

• Panneau 1, l'aimant droit. Des lignes fermées, serrées près des pôles (champ intense), écartées sur les flancs (champ faible). Pour cette leçon : imaginez une spire face au pôle nord. Plus l'aimant est proche, plus elle est traversée de lignes : approcher l'aimant fait croître le flux, l'éloigner le fait décroître. Immobile, il ne fait rien varier — et n'induit rien.
• Panneau 2, la spire et la main droite. Une spire parcourue par un courant, ses lignes de champ, et la règle de la main droite qui relie le sens du courant au sens du champ créé. Pour cette leçon : c'est l'outil de la loi de Lenz. Pour trouver le sens du courant induit, cherchez le champ qui s'oppose à la variation du flux, puis lisez sur la main droite le courant qui crée ce champ.
• Panneau 3, le solénoïde. Des lignes parallèles et serrées à l'intérieur : un champ uniforme. Pour cette leçon : c'est l'électro-aimant de l'exemple. Une bobine plate placée à l'intérieur, axe parallèle au champ, est traversée par toutes ces lignes ; couper le courant les fait disparaître, et la f.é.m. apparaît pendant la disparition.
• Panneau 4, la boussole. Deux champs perpendiculaires qui se superposent. Pour cette leçon : le champ « vu » par un circuit est le champ total ; le flux s'en calcule par le produit scalaire avec la normale.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : un cadre qui tourne dans un champ uniforme — de face, toutes les lignes le traversent ($\Phi$ maximal) ; de profil, aucune ($\Phi = 0$) ; entre les deux, $\Phi = NBS\cos\theta$. La f.é.m. est maximale quand le cadre est de profil, là où le flux varie le plus vite, et nulle quand il est de face.