Interférences à deux ondes : de la phase aux franges

Cette leçon retrouve l’interfrange d’Young et étudie l’intensité entre les franges. Deux lampes thermiques ordinaires non corrélées ne produisent généralement pas de franges stables dans l’observation habituelle. Une même source divisée constitue le montage étudié, mais n’est pas une condition nécessaire universelle : des interférences entre lasers indépendants sont observables avec un protocole adapté.

Cadre scalaire : même polarisation, même fréquence, amplitudes réelles positives ou nulles et facteur de proportionnalité commun ; moyenne sur de nombreuses périodes, phase relative stable durant l’intégration. Pour Young, écran lointain et région paraxiale, avec enveloppe d’amplitudes localement fixée. L’extinction complète exige amplitudes égales.

Superposer deux ondes. En un point $M$, deux ondes lumineuses de même fréquence arrivent avec des phases différentes : $s_1 = a_1 \cos(\omega t - \varphi_1)$ et $s_2 = a_2 \cos(\omega t - \varphi_2)$. Le signal total est la somme $s = s_1 + s_2$ — c'est le principe de superposition. Mais l'œil, une plaque, un capteur ne voient pas $s$, qui oscille des centaines de milliers de milliards de fois par seconde : ils voient l'intensité, moyenne temporelle du carré du signal, $I = \overline{s^{2}}$ (à un facteur près, sans importance ici). Pour une onde seule, $I_1 = \overline{s_1^{2}} = \dfrac{a_1^{2}}{2}$ : l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude.

La formule de Fresnel. Développons $s^{2} = s_1^{2} + s_2^{2} + 2 s_1 s_2$ et prenons la moyenne. Le produit $2 s_1 s_2 = a_1 a_2\left[\cos(2\omega t - \varphi_1 - \varphi_2) + \cos(\varphi_2 - \varphi_1)\right]$ : le premier cosinus est de moyenne nulle, le second est constant. D'où

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos \Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1.$$

Le troisième terme est le terme d'interférence : selon $\Delta\varphi$, l'intensité peut valoir jusqu'à $(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^{2}$ ou descendre jusqu'à $(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^{2}$. Pour deux ondes de même intensité $I_0$ :

entre $0$ et $4I_0$ — et non « $2I_0$ partout ». On n'additionne pas les intensités ; on additionne les ondes, puis on élève au carré.

Différence de marche et déphasage. Si les phases initiales sont identiques, sans saut additionnel de réflexion, et les chemins de longueurs $L_1$ et $L_2$ parcourus dans un indice uniforme commun $n$, leur déphasage à l'arrivée est

où $\lambda_0$ est la longueur d'onde dans le vide et $\delta$ la différence de marche — une différence de chemins optiques, en mètres. Pour des milieux variables, chaque chemin est une intégrale de l’indice le long du trajet ; une phase initiale ou de réflexion doit être ajoutée séparément. Un déphasage connu seulement modulo $2\pi$ ne fixe la marche que modulo $\lambda_0$, sauf ordre ou déroulement fourni. Le déphasage est un angle, la différence de marche une longueur : ce ne sont pas deux noms de la même chose, mais deux grandeurs reliées par $\lambda_0$. L'ordre d'interférence est le rapport $p = \delta / \lambda_0$ :

La cohérence mutuelle. Pour deux lampes thermiques ordinaires indépendantes, la phase relative varie pendant l’intégration : le terme croisé se moyenne généralement à zéro. Des ondes mutuellement cohérentes gardent une relation de phase suffisamment stable sur cette durée. Diviser puis réunir une même onde est une manière pratique de l’obtenir, pas la seule possibilité physique. Dans le montage choisi, les fentes sont éclairées en phase.

Les trous d'Young, cette fois démontrés. Deux sources cohérentes $S_1$ et $S_2$ distantes de $b$, en phase, un écran à la distance $D \gg b$, un point $M$ d'abscisse $x$ sur l'écran, mesurée depuis l'axe. Pour $x \ll D$, un calcul de géométrie donne $S_2 M - S_1 M \approx \dfrac{b\,x}{D}$, donc dans l’air assimilé au vide ($n\approx1$) :

Les franges brillantes sont aux $x_p = p\,\dfrac{\lambda D}{b}$, et leur écart, l'interfrange, vaut

$$i = \frac{\lambda D}{b}.$$

Avec un laser hélium-néon ($633$ nm), $D = 2{,}0$ m et $b = 0{,}30$ mm : $i = \dfrac{633 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{0{,}30 \times 10^{-3}} = 4{,}22$ mm. À $405$ nm, $2{,}70$ mm : l'interfrange est proportionnel à la longueur d'onde, ce qui aura une conséquence en lumière blanche.

Le contraste. Sous cohérence mutuelle parfaite et même polarisation, avec $I_1+I_2>0$, des franges se voient d'autant mieux que le noir est noir. On définit le contraste (ou visibilité)

compris entre $0$ (pas de franges) et $1$ (minimum nul). Il vaut1 pour deux ondes de même intensité non nulle ; si une seule voie est nulle, il vaut0. Si les deux sont nulles, la visibilité est indéfinie. Si $I_1 = 4 I_2$, $V = \dfrac{2 \times 2}{5} = 0{,}80$ ; si $I_1 = 100\,I_2$, $V \approx 0{,}20$ — les franges existent encore mais se noient dans le fond. Le contraste mesure aussi, on va le voir, la cohérence des deux ondes.

Cohérence temporelle : une source n'est jamais parfaitement monochromatique. Une raie réelle a une largeur $\Delta\lambda$ autour de $\lambda$. Chaque longueur d'onde produit son système de franges, d'interfrange $\lambda D / b$ ; tous coïncident à l'ordre $0$ (là où $\delta = 0$ pour toutes) et s'écartent quand l'ordre monte. À l'ordre $p$, la frange brillante de $\lambda + \Delta\lambda$ est décalée de $p\,\Delta\lambda\,D/b$ par rapport à celle de $\lambda$ ; quand ce décalage atteint l'interfrange, les systèmes se brouillent : $p\,\Delta\lambda \approx \lambda$, soit une différence de marche

$$\delta \approx \frac{\lambda^{2}}{\Delta\lambda} = L_c,$$

une échelle de longueur de cohérence, ordre de grandeur à bande étroite. Sa valeur précise dépend du spectre, de la convention de largeur et du critère de visibilité : ce n’est pas un couperet universel au-delà duquel toute frange disparaît. Pour600 nm et une largeur10 nm, l’échelle $\lambda^2/\Delta\lambda$ vaut36 µm, correspondant à un ordre caractéristique60, pas la garantie de60ordres visibles. La largeur spectrale et la cohérence varient selon le laser et le protocole.

En lumière blanche à spectre continu large. Dans le montage achromatique en phase choisi, les contributions se superposent constructivement à marche nulle ; la frange centrale peut être blanche. Les interfranges dépendent de la longueur d’onde, donc les franges voisines se colorent et leur contraste peut diminuer. La visibilité exacte dépend du spectre, des phases additionnelles et de la réponse du détecteur ; aucune frontière d’ordre universelle n’est annoncée.

Cohérence spatiale. Pour une source thermique étendue dont les points sont mutuellement incohérents, les systèmes de franges décalés s’ajoutent en intensité et peuvent réduire le contraste. La perte dépend du profil et de la géométrie, elle n’est pas nécessairement monotone. Une source spatialement étendue peut aussi être cohérente : l’étendue seule ne décide pas. Une fente source fine ou une illumination laser adaptée simplifie le montage choisi.

Déplacer les franges : la lame. On suppose une lame plane parallèle à incidence quasi normale, sans déviation ni perturbation d’amplitude dans le modèle, dans l’air assimilé à n=1. Placez devant $S_1$ une lame transparente d'épaisseur $e$ et d'indice $n$. Le chemin optique de la voie $1$ augmente de $(n - 1)\,e$ : pour retrouver $\delta = 0$, il faut que la voie $1$ soit géométriquement plus courte, donc que $M$ se rapproche de $S_1$ — tout le système de franges se déplace du côté de la lame, de $\dfrac{(n - 1)\,e}{\lambda}$ interfranges, sans que l’interfrange change dans ce modèle de lame purement déphasante. Pour $e = 1{,}0$ µm et $n = 1{,}5$ : $(n - 1)e = 500$ nm, soit $0{,}79$ interfrange, $3{,}3$ mm sur l'écran de l'exemple. C'est une méthode de mesure : un déplacement de franges mesure une épaisseur, ou un indice.

Retenir la logique. Franges = cohérence + différence de marche stable. Position des franges = $\delta$ comparée à $\lambda$. Visibilité des franges = contraste, limité par le déséquilibre des intensités, la largeur spectrale (temporelle) et la largeur de la source (spatiale).

Énoncé. Dans les hypothèses scalaires, cohérentes en phase et paraxiales annoncées, deux fentes fines parallèles distantes de $b = 0{,}30$ mm sont éclairées par un laser hélium-néon, $\lambda = 633$ nm ; l'écran est à $D = 2{,}0$ m, dans l'air. Les deux ondes ont la même intensité $I_0$ sur l'écran.

1. Calculer l'interfrange.
2. Au point $M$ d'abscisse $x = 5{,}0$ mm, calculer la différence de marche, l'ordre d'interférence, et l'intensité rapportée à l'intensité maximale. Est-on sur une frange brillante, sombre, ou entre les deux ?
3. On place devant l'une des fentes une lame d'épaisseur $e = 1{,}0$ µm et d'indice $n = 1{,}5$. De combien, et dans quel sens, les franges se déplacent-elles ?
4. On atténue l'une des voies : $I_1 = 4 I_2$. Que devient le contraste ?

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1. Interfrange. $i = \dfrac{\lambda D}{b} = \dfrac{633 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{0{,}30 \times 10^{-3}} = 4{,}22 \times 10^{-3}$ m.

$i = 4{,}22$ mm. Franges brillantes en $x = 0$, $\pm 4{,}22$, $\pm 8{,}44$ mm…

2. Au point $x = 5{,}0$ mm. Différence de marche : $\delta = \dfrac{b\,x}{D} = \dfrac{0{,}30 \times 10^{-3} \times 5{,}0 \times 10^{-3}}{2{,}0} = 7{,}5 \times 10^{-7}$ m $= 750$ nm. Ordre : $p = \dfrac{\delta}{\lambda} = \dfrac{750}{633} \approx 1{,}18$ — ni entier ni demi-entier. Intensité : $I = 4 I_0 \cos^{2}(\pi p)$, soit $\dfrac{I}{I_{\max}} = \cos^{2}(\pi\times750/633) \approx 0{,}70$.

$\delta = 750$ nm, $p \approx 1{,}18$, $I \approx 0{,}70\,I_{\max}$ : entre la frange brillante d'ordre $1$ ($x = 4{,}22$ mm) et la frange sombre d'ordre $1{,}5$ ($x = 6{,}33$ mm), plus près de la brillante.

Contrôle par une autre voie : $x/i = 5{,}0/4{,}22 \approx 1{,}18$ — c'est le même nombre, puisque $p = \delta/\lambda = x/i$. $\checkmark$

3. La lame. Elle allonge le chemin optique de sa voie de $(n - 1)\,e = 0{,}5 \times 1{,}0 \times 10^{-6}$ m $= 500$ nm. L'ordre de chaque point est décalé de $\dfrac{500}{633} \approx 0{,}79$ ; le système entier se déplace de $0{,}79\,i \approx 3{,}3$ mm, vers la fente qui porte la lame, et l'interfrange ne change pas.

Déplacement de $3{,}3$ mm du côté de la lame.

4. Contraste. $V = \dfrac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} = \dfrac{2\sqrt{4}}{5} = 0{,}80$. Les franges sombres ne sont plus noires : $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^{2} = I_2$, et $I_{\max} = 9\,I_2$.

$V = 0{,}80$ ; les positions restent inchangées si l’atténuation est purement en amplitude, sans phase ajoutée et sans déformation des profils.

Lecture. L'interfrange décrit les maximums ; la formule de Fresnel décrit les intensités intermédiaires de la région modélisée ; un écran réel comporte aussi une enveloppe de diffraction. La lame déplace, l'atténuation délave, aucune des deux ne change $i$ : la géométrie fixe l'interfrange, la phase fixe la position, les intensités fixent le contraste.

Figure (fig.physics.interference-diffraction, figure programmatique de la leçon de terminale, dont les nombres du montage d'Young sont ceux de cette leçon) : six parties, dont trois servent ici.

• Partie 3, le montage d'interférences vu de dessus. Deux fentes distantes de $b$ deviennent deux sources ; les crêtes des deux ondes sont en trait plein, les creux en tirets ; un cercle blanc marque chaque rencontre crête-crête, un losange noir chaque rencontre crête-creux. Ces marques se rangent sur des hyperboles calculées : lieux brillants d'ordre $0$, $\pm 1$, $\pm 2$ en gras, lieux sombres intermédiaires en tirets. Ce qu'il faut y lire pour cette leçon : un cercle blanc est un point où $\delta = S_2M - S_1M$ vaut un nombre entier de $\lambda$ — c'est la ligne « entier / constructif » du tableau —, un losange, un demi-entier. Pour le rapport dessiné $\lambda/b = 1/3$, le dessin montre cinq lieux hyperboliques brillants d’ordres $0$, $\pm1$ et $\pm2$ ; au laboratoire ce rapport vaut environ $0{,}002$ et il en existe des centaines, presque parallèles : c'est le régime $x \ll D$ où $\delta \approx bx/D$.
• Partie 4, l'écran à $2{,}0$ m, à l'échelle six pixels pour un millimètre : onze franges brillantes régulièrement espacées de $4{,}22$ mm, et la mesure des dix interfranges qui séparent la première de la onzième — le geste qui divise par dix la contribution d’une même incertitude absolue sur la distance des extrémités, sans supprimer les autres sources d’erreur.
• Partie 5, quatre cases. Case a : la construction géométrique de la différence de marche, avec le point $H$ de $[MF_2]$ à la distance $MF_1$ de $M$, de sorte que $\delta = HF_2$. Case b : une règle graduée du rapport $\delta/\lambda$, où les valeurs entières sont brillantes et les demi-entières sombres — l'ordre d'interférence de cette leçon, sous forme d'instrument. Case c : le laser rouge ($633$ nm) et le laser bleu ($405$ nm) dans le même montage, interfranges $4{,}22$ et $2{,}70$ mm à la même échelle — la proportionnalité de $i$ à $\lambda$, d'où les franges colorées de la lumière blanche.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut imaginer : le profil d'intensité le long de l'écran, en $\cos^{2}$, qui décrit aussi les points entre deux franges (le point $x = 5{,}0$ mm de l'exemple, à $0{,}70\,I_{\max}$) ; le contraste, puisque les franges y sont dessinées toutes noires ou toutes blanches ; la perte de cohérence — les onze franges sont identiques, comme avec un laser, alors qu'une source filtrée ou blanche peut modifier leur contraste et leur couleur selon le spectre et la cohérence ; et le déphasage lui-même, qui n'est pas une longueur et ne se dessine pas. Les parties 1 et 2, sur la diffraction par une fente, relèvent d'un autre phénomène : au montage d'Young, la diffraction fixe l'enveloppe de l'éclairement, les interférences les franges à l'intérieur.