Lois des circuits : série et dérivation

Dans la leçon précédente, on a appris à mesurer une intensité (en ampères, à l'ampèremètre branché en série) et une tension (en volts, au voltmètre branché en dérivation). Reste la vraie question : quand plusieurs dipôles partagent le même circuit, comment ces valeurs se répartissent-elles ? Les quatre relations de cette leçon s’appliquent aux modèles de circuits simples en régime continu établi, avec des fils idéaux.

Tout dépend d'abord du type de montage.

• Circuit en série : les dipôles forment une seule boucle. Le courant sort du générateur, traverse successivement chaque dipôle, puis revient au générateur. Il n'a aucun autre chemin possible.
• Circuit en dérivation : chaque dipôle est relié directement aux deux bornes du générateur, sur sa propre branche. Le courant se sépare à l'entrée, en un nœud, puis se rassemble à la sortie en un autre nœud.

Un nœud est un point du circuit où trois fils au moins se rejoignent. Une branche est un chemin entre deux nœuds.

Les quatre lois.

Autrement dit : ce qui est le même partout en série, c'est l'intensité ; ce qui est le même partout en dérivation, c'est la tension. Et ce qui s'additionne est chaque fois l'autre grandeur.

Le mécanisme, grandeur par grandeur.

1. Pourquoi l'intensité est la même partout en série ? Parce qu'il n'existe qu'un seul chemin. Les charges ne peuvent ni s'accumuler quelque part dans le fil, ni disparaître en route : tout ce qui entre dans un dipôle en ressort. Le courant ne s'use pas en traversant une lampe — ce que la lampe reçoit, c'est de l'énergie, pas du courant.
2. Pourquoi les tensions s'additionnent-elles en série ? Parce que la tension mesure l’énergie transférée par unité de charge en traversant un dipôle. Sur un tour complet de boucle, une charge reçoit du générateur exactement ce qu'elle redistribue à tous les autres dipôles. D'où : la tension du générateur est la somme des tensions des autres dipôles.
3. Pourquoi les intensités s'additionnent-elles à un nœud ? Parce que rien ne s'accumule au nœud non plus : tout ce qui y arrive en repart. Le courant principal se partage entre les branches, et le partage est complet.
4. Pourquoi la tension est-elle la même dans toutes les branches en dérivation ? Parce que chaque branche est reliée aux mêmes deux bornes du générateur. Comparer les deux bornes d'une branche, c'est comparer les deux bornes du générateur : c'est la même mesure.

Une phrase pour ne plus se tromper de loi : en série, c'est l'intensité qui est partagée par tous et la tension qui se répartit ; en dérivation, c'est exactement l'inverse.

La tension ne se partage pas également. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. Dans un circuit série avec un générateur de 9,0 V et trois dipôles, la réponse « chacun reçoit $9{,}0 / 3 = 3{,}0$ V » est fausse, sauf coïncidence. La loi d'additivité impose seulement que la somme fasse 9,0 V : les valeurs 3,4 V, 4,5 V et 1,1 V la respectent parfaitement. Ce qui décide du partage, c'est la nature de chaque dipôle — et pour un conducteur ohmique, c'est sa résistance : la leçon suivante, la loi d'Ohm, donnera enfin le moyen de calculer ce partage au lieu de le constater.

Ce que l'on ressent dans un montage réel.

• Avec un générateur maintenant une même tension adaptée, deux lampes à filament identiques en série brillent moins qu’une seule : la tension se partage entre elles. Dévisser l'une éteint l'autre, car la boucle unique est coupée.
• Deux lampes identiques en dérivation, sous une tension adaptée à leur fonctionnement nominal, brillent normalement toutes les deux : chacune reçoit la tension entière du générateur. Dévisser l'une n'éteint pas l'autre, car chaque branche est indépendante. À tension maintenue identique et pour ces deux lampes identiques, le courant fourni est le double de celui demandé par une seule lampe.

C'est pour cette raison que l'installation électrique d'un logement est câblée en dérivation : chaque appareil reçoit les 230 V du réseau et fonctionne indépendamment des autres. C'est aussi pourquoi brancher trop d'appareils sur la même prise peut provoquer une surcharge : les intensités des branches s’additionnent. Le déclenchement du disjoncteur dépend aussi de sa courbe et de la durée du dépassement.

Le court-circuit d'un dipôle. Si l'on relie les deux bornes d'une lampe par un simple fil, la lampe s'éteint. Le fil offre au courant un chemin sans obstacle, la tension aux bornes de la lampe tombe à 0 V, et le courant passe presque entièrement par le fil. Court-circuiter le générateur lui-même est autrement plus grave : un fort courant, un échauffement ou des dommages sont possibles, selon la résistance interne de la source et ses protections. Une source de tension idéale ne peut pas être maintenue en parallèle avec un fil idéal de résistance nulle : le modèle doit alors inclure les limites réelles. On ne le fait jamais volontairement.

Un circuit à deux mailles. Soit un générateur, une résistance placée juste après lui, puis deux lampes en dérivation. La résistance est traversée par le courant principal ; chaque lampe n'est traversée que par le courant de sa branche. Ici, les deux montages coexistent : la résistance est en série avec l'ensemble des deux lampes, qui sont en dérivation entre elles. Pour ne pas se perdre, une seule méthode : repérer d'abord les nœuds, puis appliquer à chaque portion la loi qui correspond à son montage.

La loi des mailles, forme générale — relation DONNÉE, outil de lycée. Une maille est un chemin fermé du circuit. En orientant la maille et en comptant positivement les tensions dans le sens choisi, négativement les autres, on obtient :

Cette écriture n'est pas exigible au collège, et il n’est pas nécessaire de l’utiliser. Elle est donnée ici pour une raison précise : elle explique pourquoi l'additivité des tensions fonctionne. Dans une boucle unique, la tension du générateur est comptée dans un sens et celles des récepteurs dans l'autre, ce qui redonne exactement $U_G = U_1 + U_2 + \dots$. Au lycée, avec la forme générale, c'est le signe de chaque tension qui deviendra le vrai piège ; au collège, l'écriture en somme de valeurs positives met à l’abri de ce piège.

Une annonce, pour la leçon suivante — résultat non exigible au collège. Deux conducteurs ohmiques en série se comportent comme un seul, de résistance $R = R_1 + R_2$. Cette relation n'est pas au programme du cycle 4, pas plus que la forme générale de la loi des mailles ci-dessus. Elle se démontre en une ligne à partir de l'additivité des tensions et de la loi d'Ohm — mais la loi d'Ohm n’a pas encore été présentée dans cette progression : la démonstration est donc faite, à sa place, dans la leçon Loi d'Ohm.

Partie A — un circuit en série. Dans le modèle continu établi, un générateur de tension idéale $U_G = 9{,}0$ V alimente, dans une seule boucle, une lampe, un moteur et une résistance. Un voltmètre donne $U_{\text{lampe}} = 3{,}4$ V et $U_{\text{résistance}} = 1{,}1$ V. Un ampèremètre placé entre le générateur et la lampe indique $I = 120$ mA.

A.1. Quelle est l'intensité du courant qui traverse le moteur ? Le circuit est en série : une seule boucle, donc unicité de l'intensité. Le courant est le même en tout point :

Aucun calcul, et surtout aucune addition : additionner des intensités n'a de sens qu'à un nœud, et une boucle unique n'en a pas.

A.2. Quelle est la tension aux bornes du moteur ? Loi d'additivité des tensions :

On isole l'inconnue :

A.3. Vérifier.

La somme redonne bien la tension du générateur. Au passage, le « partage égal » aurait donné $9{,}0 / 3 = 3{,}0$ V pour chaque dipôle : aucune des trois valeurs réelles ne vaut 3,0 V.

Partie B — le même générateur, en dérivation. Le même générateur de $U_G = 9{,}0$ V alimente maintenant une lampe et un moteur en dérivation : chacun est relié directement aux deux bornes du générateur, sur sa propre branche. Un ampèremètre placé dans chaque branche indique $I_{\text{lampe}} = 150$ mA et $I_{\text{moteur}} = 320$ mA.

B.1. Quelle est la tension aux bornes de la lampe ? Loi d'unicité de la tension en dérivation : la branche de la lampe relie directement les deux bornes du générateur, donc

B.2. Quelle est l'intensité du courant principal, à la sortie du générateur ? Loi des nœuds : ce qui arrive au nœud en repart entièrement.

B.3. Interpréter la comparaison des deux montages. Dans les deux modèles donnés, la lampe reçoit 3,4 V en série et 9,0 V en dérivation. Pour une lampe à filament adaptée à 9,0 V, l’éclat est plus grand dans le second cas. Le courant total indiqué passe de 120 mA à 470 mA : le générateur fournit donc davantage de puissance. Ajouter une branche réceptrice sous la même tension maintenue augmente le courant total ; ajouter une résistance positive en série sous cette même tension le diminue. La logique à retenir : en dérivation, on ajoute du courant ; en série, on partage la tension.

Les deux panneaux utilisent un générateur idéal de 9,0 V. Dans la boucle série, les trois indications de courant portent la même valeur 120 mA ; les tensions 3,4 V, 4,5 V et 1,1 V s’additionnent à 9,0 V.

En dérivation, chaque branche est reliée aux mêmes bornes et porte donc 9,0 V. Les courants 150 mA et 320 mA se rejoignent : le courant principal vaut 470 mA. Les épaisseurs de flèches et les gros points aux nœuds aident à repérer le partage, mais les valeurs se vérifient avec les lois, pas en mesurant ces épaisseurs.