Machines thermiques : la borne de Carnot

Une machine thermique est un système — le fluide d'une centrale, le gaz d'un réfrigérateur — qui décrit un cycle : il revient périodiquement à son état initial. Elle échange de l'énergie par transfert thermique avec deux sources de températures fixes, $T_c > T_f$ (chaude, froide), et du travail avec l'extérieur. Le modèle est une machine cyclique ditherme, avec deux réservoirs idéaux à températures absolues positives fixes, sans autre échange énergétique que ces transferts thermiques et le travail utile. Les contacts sont inclus dans le bilan global d’irréversibilité. Trois usages : le moteur reçoit de la chaleur du chaud et fournit du travail ; le réfrigérateur reçoit du travail pour extraire de la chaleur du froid ; la pompe à chaleur reçoit du travail pour livrer de la chaleur au chaud.

Convention, à écrire avant tout calcul. Les indices c et f désignent les sources chaude et froide ; $Q_c,Q_f,W$ sont des modules positifs. Pour le moteur, $Q_c$ est reçu du chaud, $Q_f$ cédé au froid et W fourni. Pour une machine réceptrice, $Q_f$ est reçu du froid, $Q_c$ cédé au chaud et W reçu : les sens sont inversés. Les signes figurent dans les équations.

Bilan d'énergie sur un cycle. Le fluide revient à son état initial : $\Delta U = 0$ sur un cycle. Le premier principe donne, pour un moteur,

Le travail fourni est la différence entre ce qui est reçu du chaud et ce qui est rejeté au froid. Un moteur qui ne rejetterait rien ($Q_f = 0$) convertirait toute la chaleur en travail : le second principe l'interdit.

Bilan global d’entropie sur un cycle. Le fluide et les contacts reviennent à leur état initial. Les réservoirs varient de $-Q_c/T_c$ et $+Q_f/T_f$ ; le travail n’emporte pas d’entropie dans ce modèle. La création totale dans la machine et ses contacts vaut donc $S_{\text{c}}=Q_f/T_f-Q_c/T_c\ge0$. Elle ne se confond pas nécessairement avec la seule production interne du fluide : les écarts de température aux contacts contribuent au total. Ainsi $0=Q_c/T_c-Q_f/T_f+S_{\text{c}}$ et $Q_c/T_c-Q_f/T_f\le0$, avec égalité si et seulement si l’ensemble machine et contacts du modèle est réversible.

Le rendement, et sa borne. Le rendement d'un moteur est ce qu'on gagne sur ce qu'on paie : $\eta = \dfrac{W}{Q_c} = 1 - \dfrac{Q_f}{Q_c}$. Clausius donne $\dfrac{Q_f}{Q_c} \ge \dfrac{T_f}{T_c}$, d'où

Théorème de Carnot : $\quad \eta \le \eta_{\max} = 1 - \dfrac{T_f}{T_c}$, avec égalité pour un cycle réversible.

Le rendement maximal ne dépend que des températures des sources, en kelvin, et de rien d'autre : ni du fluide, ni de la technique. Une centrale entre $400$ °C et $20$ °C : $\eta_{\max} = 1 - \dfrac{293{,}15}{673{,}15} \approx 0{,}565$. Avec des degrés Celsius on trouverait $1 - \dfrac{20}{400} = 0{,}95$ — un nombre qui ne veut rien dire, et qui change si l'on décale le zéro de l'échelle. Dans ce cadre ditherme, aucun moteur ne dépasse cette borne ; les irréversibilités rendent le rendement strictement inférieur, sans imposer un écart universel. Une pile électrochimique ou une conversion électrique ne relève pas automatiquement de cette borne thermique.

Réfrigérateur. Le cycle est parcouru dans l'autre sens : le fluide reçoit $Q_f > 0$ de la source froide (l'intérieur de l'enceinte), reçoit un travail $W > 0$ (le compresseur), et cède $Q_c > 0$ à la source chaude (la cuisine). Premier principe sur un cycle : $Q_c = Q_f + W$ — la cuisine reçoit plus que ce qui est extrait du froid. On mesure ce qu'on gagne sur ce qu'on paie par l'efficacité (ou coefficient de performance)

Clausius s'écrit maintenant $\dfrac{Q_f}{T_f} - \dfrac{Q_c}{T_c} \le 0$ (les signes suivent le sens des transferts), d'où $e_{\text{frigo}} \le \dfrac{T_f}{T_c - T_f}$. Cette borne est supérieure à $1$ dès que $T_c - T_f < T_f$ : entre $-18$ °C et $22$ °C, $e_{\max} = \dfrac{255{,}15}{40} \approx 6{,}38$. Extraire $10$ kJ du congélateur coûte alors au moins $\dfrac{10}{6{,}38} \approx 1{,}57$ kJ de travail. Une efficacité supérieure à 1 ne viole pas la conservation : la chaleur livrée comprend celle prélevée au froid et l’énergie du travail reçu.

Pompe à chaleur. Même cycle, autre usage : ce qui compte est $Q_c$, livré à la maison. Efficacité $e_{\text{pompe}} = \dfrac{Q_c}{W} \le \dfrac{T_c}{T_c - T_f}$. Comme $Q_c = Q_f + W$, pour la même machine, le même cycle et les mêmes flux, on a $e_{\text{pompe}} = e_{\text{frigo}} + 1$. Entre $5$ °C (air extérieur) et $40$ °C (plancher chauffant) : $e_{\max} = \dfrac{313{,}15}{35} \approx 8{,}95$ — un kilojoule de travail peut livrer près de neuf kilojoules de chaleur, dont huit pris à l'air froid. À température froide fixée, abaisser la température de livraison augmente la borne réversible du COP de chauffage. Ce potentiel théorique ne suffit pas à comparer deux installations réelles : besoin, fonctionnement et performances effectives doivent aussi être connus.

Un moteur réel. On mesure $Q_c = 100$ kJ reçus et $Q_f = 60$ kJ rejetés par cycle, entre les mêmes sources $400$ °C / $20$ °C. Premier principe : $W = 40$ kJ, $\eta = 0{,}40$ — sous la borne $0{,}565$, comme il se doit. Le bilan d'entropie mesure combien d'irréversibilité :

À mêmes réservoirs et même $Q_c=100$ kJ, le moteur réversible aurait fourni environ 56,5 kJ. La différence non arrondie vaut $W_{\text{rév}}-W=T_fS_{\text{c}}\approx16{,}5$ kJ. On conserve les expressions complètes avant l’arrondi ; multiplier seulement 56,1 par 293,15 ne restitue pas exactement le résultat non arrondi. Ce travail perdu est propre à cette comparaison fixée.

D’où viennent les irréversibilités. Écarts de température finis, frottements et détentes non contrôlées en sont des exemples. Dans un modèle de contacts à conductance finie, rendre les écarts de température arbitrairement faibles ralentit les échanges ; la limite quasi statique conduit à une puissance tendant vers zéro. Cette limite de fonctionnement n’est pas une définition universelle de la réversibilité.

Ce que le théorème ne dit pas. Il ne choisit ni fluide, ni technologie, ni cycle industriel. La borne concerne la conversion thermique cyclique ditherme définie au départ, pas toute conversion d’énergie. À réservoirs fixés, elle est indépendante du fluide du moteur ; modifier les sources change la borne.

Énoncé. Le fluide d'une centrale décrit un cycle entre une source chaude à $400$ °C et une source froide (rivière) à $20$ °C. On note $Q_c > 0$ l'énergie reçue de la source chaude par cycle, $Q_f > 0$ l'énergie cédée à la source froide, $W > 0$ le travail fourni.

1. Calculer le rendement maximal $\eta_{\max}$.
2. Le cycle est supposé réversible et $Q_c = 100$ kJ. Calculer $W$ et $Q_f$, et vérifier l'égalité de Clausius.
3. En réalité, pour $Q_c = 100$ kJ, on mesure $Q_f = 60$ kJ. Calculer le rendement réel et l'entropie créée par cycle.
4. Quel travail a été perdu par rapport au cycle réversible ?

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1. Kelvin d'abord. $T_c = 400 + 273{,}15 = 673{,}15$ K, $T_f = 293{,}15$ K.

$\eta_{\max} = 1 - \dfrac{T_f}{T_c} = 1 - \dfrac{293{,}15}{673{,}15} \approx 0{,}565$, soit $56{,}5$ %.

(En Celsius : $1 - 20/400 = 0{,}95$ ; en décalant le zéro, on aurait n'importe quoi. Le rapport de Carnot exige les températures absolues, exprimées ici en kelvin.)

2. Cycle réversible. $W = \eta_{\max}\,Q_c \approx 0{,}5645 \times 100 = 56{,}5$ kJ, et le premier principe sur un cycle ($\Delta U = 0$) donne

$Q_f = Q_c - W \approx 43{,}5$ kJ.

Clausius : $\dfrac{Q_c}{T_c} = \dfrac{100}{673{,}15} \approx 0{,}1486\ \mathrm{kJ \cdot K^{-1}}$ et $\dfrac{Q_f}{T_f} = \dfrac{100(293{,}15/673{,}15)}{293{,}15} \approx 0{,}1486\ \mathrm{kJ \cdot K^{-1}}$ : égaux, comme l'exige un cycle réversible. $\checkmark$ (C'est d'ailleurs la façon la plus sûre de calculer $Q_f$ : $Q_f = Q_c\,\dfrac{T_f}{T_c}$.)

3. Cycle réel. $W = Q_c - Q_f = 40$ kJ, donc

$\eta = \dfrac{W}{Q_c} = 0{,}40$ — sous la borne de Carnot, ce qui est un contrôle de cohérence : un rendement mesuré supérieur à $0{,}565$ signalerait une erreur de mesure ou de convention.

Bilan d'entropie sur un cycle ($\Delta S = 0$) : $0 = \dfrac{Q_c}{T_c} - \dfrac{Q_f}{T_f} + S_{\text{c}}$, donc

$S_{\text{c}} \approx 56{,}1\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}$ par cycle, positive : le cycle est irréversible.

4. Travail perdu. À mêmes réservoirs et même énergie reçue 100 kJ, $W_{\text{rév}}-W=[100(1-293{,}15/673{,}15)-40]$ kJ $\approx16{,}5$ kJ. Le bilan donne exactement la même expression que $T_fS_{\text{c}}$ avant arrondi. Les valeurs 56,5 et 56,1 affichées auparavant sont des approximations, pas des données à réinjecter pour une égalité exacte.

Lecture. Deux bilans, énergie et entropie, tous deux nuls sur un cycle pour le fluide ; l'un donne $W$, l'autre dit si c'est le mieux possible. Utilisez les températures absolues pour ces rapports.

Figure (fig.physics.internal-energy-heat, figure programmatique de la leçon de première sur l'énergie interne et le transfert thermique, réutilisée ici parce qu'elle dessine le sens spontané du transfert et la convention de signe dont toute machine dépend) : trois panneaux et un bandeau.

• Panneau 1. Deux masses d'eau à la même température au-dessus de deux barres d'énergie interne dans le rapport $1$ pour $4$ ; puis deux corps à températures différentes reliés par une flèche épaisse du chaud vers le froid, signe $-$ du côté qui cède, $+$ du côté qui reçoit. Pour cette leçon : cette flèche est le transfert spontané. Un moteur s'y installe : il laisse l'énergie descendre du chaud vers le froid et en prélève une partie en travail — $Q_c$ entre, $Q_f$ ressort, $W$ est la différence. Un réfrigérateur fait l'inverse : il fait remonter de l'énergie du froid vers le chaud, ce qui n'est pas spontané et coûte du travail. Les signes $\pm$ de la figure sont exactement la convention « reçu positif » du premier principe ; la leçon les remplace par des grandeurs positives et des équations signées.
• Panneau 2. Conduction, convection, rayonnement. Pour cette leçon : ce sont les modes par lesquels une source réelle chauffe un fluide — sous un écart de température fini dans les échanges réels ici représentés, qui créent de l’entropie. C'est la première origine de l'entropie créée.
• Panneau 3. Le calorimètre associe 300 g d’eau à 20 °C et 300 g de cuivre à 100 °C, pour une température finale d’environ 26,7 °C. Le modèle est thermiquement isolé, sans travail ni changement d’état, à capacités thermiques constantes. Les températures changent durant l’échange : on ne remplace pas son entropie par un unique Q/T initial. Entre états d’équilibre, $\Delta S=mc\ln(T_{\mathrm{fin}}/T_{\mathrm{ini}})$ pour chaque corps ; leur somme vaut environ 3,29 J/K, positive. L’énergie totale se conserve mais aucun travail n’est récupéré. La courbe du café illustre séparément un modèle de refroidissement vers une ambiance fixe, pas une loi universelle de tout système.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : le cycle — aucun système n'y revient à son état initial ; les deux sources de température fixe et le fluide qui les relie ; le travail échangé, absent du dessin ; le rapport $\dfrac{T_f}{T_c}$ qui borne le rendement ; et le fait qu'un transfert du froid vers le chaud est possible, à condition de payer. La figure montre où va l'énergie toute seule ; la machine est ce qu'on construit pour en tirer quelque chose, ou pour la faire remonter.