Théorème d'Ampère : symétries, contour, courant enlacé

Le théorème de Gauss reliait le flux du champ électrique à la charge enfermée. Le théorème d'Ampère relie la circulation du champ magnétique le long d'une courbe fermée au courant qui la traverse. Même philosophie, même limite : puissant quand la distribution est symétrique, inutilisable sinon.

La circulation. Le long d'un contour fermé orienté $\mathcal{C}$, la circulation du champ magnétostatique est

en $\mathrm{T \cdot m}$. Si $\vec{B}$ est tangent au contour et de norme constante sur lui, elle vaut simplement $B \times (\text{longueur du contour})$.

Le théorème d'Ampère. Pour des courants permanents,

où $I_{\text{enlacé}}$ est la somme algébrique des intensités qui traversent une surface s'appuyant sur $\mathcal{C}$, comptées positivement dans le sens donné par la règle de la main droite (doigts selon le sens de parcours, pouce selon le courant positif). $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{T \cdot m \cdot A^{-1}}$. Les courants non enlacés créent un champ sur le contour, mais leur circulation totale est nulle.

Les symétries d'abord — avec une particularité. $\vec{B}$ est un pseudo-vecteur : sa direction est fixée par une règle d'orientation. Conséquence, l'inverse du cas électrique :

• si un plan est plan de symétrie de la distribution de courants, $\vec{B}$ en un point de ce plan lui est perpendiculaire ;
• si un plan est plan d'antisymétrie, $\vec{B}$ y est contenu.

Les invariances (translation, rotation) disent de quelles coordonnées la norme ne dépend pas, comme pour Gauss.

Le fil infini. Tout plan contenant le fil est plan de symétrie des courants : $\vec{B}$ lui est perpendiculaire, donc orthoradial, tangent aux cercles centrés sur le fil. Invariances par translation le long du fil et par rotation autour de lui : $B$ ne dépend que de la distance $r$. Contour : un cercle de rayon $r$ centré sur le fil. Circulation $B(r) \times 2\pi r$, courant enlacé $I$ :

Pas de charge magnétique. Le flux de $\vec{B}$ à travers toute surface fermée est nul : les lignes de champ magnétique se referment toujours sur elles-mêmes. Il n'existe aucun analogue de la charge intérieure de Gauss ; seul Ampère sert à calculer $\vec{B}$ par symétrie.

À l'intérieur d'un conducteur plein. Un fil cylindrique de rayon $R$ porte un courant $I$ réparti uniformément sur sa section : densité $j = \dfrac{I}{\pi R^{2}}$. Mêmes symétries que le fil infini. Sur un cercle de rayon $r < R$, le courant enlacé n'est que la part qui traverse le disque de rayon $r$ :

Le champ est nul sur l'axe, croît linéairement jusqu'à la surface, où il rejoint la valeur $\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}$, puis décroît en $1/r$ à l'extérieur. Le même profil que le champ électrique d'un cylindre infini uniformément chargé (proportionnel à $r$ dedans, en $1/r$ dehors), pour la même raison : seule la source intérieure compte. Une boule chargée a la même allure à l'intérieur, mais son champ décroît en $1/r^{2}$ à l'extérieur.

Le solénoïde long. $N$ spires jointives sur une longueur $\ell$, parcourues par $I$ ; on le traite comme infini. Tout plan perpendiculaire à l'axe est plan de symétrie des courants (les spires sont circulaires) : $\vec{B}$ est perpendiculaire à ce plan, donc axial. On admet que le champ est nul à l'extérieur d'un solénoïde infini. Contour : un rectangle dont un côté de longueur $L$ est à l'intérieur, parallèle à l'axe, et le côté opposé à l'extérieur. Seul le côté intérieur contribue : circulation $B L$. Le rectangle est traversé par $n L$ spires, avec $n = N/\ell$ spires par mètre : $I_{\text{enlacé}} = n L I$. Donc

uniforme dans tout le volume intérieur et indépendant du rayon : un solénoïde plus large ne donne pas un champ plus faible.

Le tore. $N$ spires régulièrement enroulées sur un anneau. Tout plan contenant l'axe du tore est plan de symétrie : $\vec{B}$ est orthoradial. Sur un cercle de rayon $r$ intérieur au tore, chaque spire traverse une fois le disque, dans le même sens : $I_{\text{enlacé}} = N I$, et

Sur un cercle extérieur au tore, chaque spire traverse le disque deux fois en sens opposés : courant net nul, champ nul. Le tore confine son champ.

La méthode, toujours dans le même ordre : (1) plans de symétrie et invariances ⇒ direction de $\vec{B}$ et variable dont dépend sa norme ; (2) contour sur lequel $\vec{B}$ est tangent et de norme constante, ou perpendiculaire ; (3) circulation ; (4) courant enlacé ; (5) égalité. Sans le premier pas, le troisième est une affirmation gratuite.

Énoncé. On donne $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{T \cdot m \cdot A^{-1}}$.

1. Un long câble rectiligne transporte $I = 12$ A. Calculer le champ à $3{,}5$ cm de son axe.
2. Le câble est un cylindre plein de rayon $R = 7{,}0$ mm, de densité de courant uniforme. Calculer le champ à $2{,}8$ mm de l'axe.
3. Un solénoïde de $600$ spires, long de $30$ cm et de rayon $1{,}2$ cm, est parcouru par $1{,}3$ A. Calculer le champ à l'intérieur.

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1. Fil. Symétries : tout plan contenant le fil est plan de symétrie des courants ; $\vec{B}$, pseudo-vecteur, lui est perpendiculaire : il est orthoradial. Invariances : $B = B(r)$. Contour : cercle de rayon $r = 0{,}035$ m, orienté par le courant. Ampère : $B \times 2\pi r = \mu_0 I$.

$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} = \dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 12}{2\pi \times 0{,}035} \approx 6{,}86 \times 10^{-5}\ \mathrm{T} \approx 68{,}6\ \mu\mathrm{T}$.

Le $4\pi$ de $\mu_0$ se simplifie avec le $2\pi$ : $\dfrac{\mu_0}{2\pi} = 2 \times 10^{-7}$ SI.

2. Intérieur. Mêmes symétries, cercle de rayon $r = 2{,}8$ mm $< R$. Courant enlacé :

$B = \dfrac{\mu_0 I_{\text{enlacé}}}{2\pi r} = \dfrac{2 \times 10^{-7} \times 1{,}92}{2{,}8 \times 10^{-3}} \approx 1{,}37 \times 10^{-4}\ \mathrm{T} \approx 137\ \mu\mathrm{T}$.

Contrôle : à la surface, $\dfrac{2 \times 10^{-7} \times 12}{7{,}0 \times 10^{-3}} \approx 343\ \mu\mathrm{T}$, et $\dfrac{2{,}8}{7{,}0} = 0{,}4$ de cette valeur donne bien $137\ \mu\mathrm{T}$ : le champ intérieur est proportionnel à $r$. Compter le courant total $12$ A aurait donné $857\ \mu\mathrm{T}$, plus que le maximum en surface — absurde.

3. Solénoïde. Condition de validité d'abord : un solénoïde est long si sa longueur vaut au moins une vingtaine de fois son rayon ; ici $20R = 20 \times 1{,}2 \times 10^{-2} = 0{,}24$ m $< \ell = 0{,}30$ m, le modèle infini est légitime. Champ axial, uniforme à l'intérieur, nul dehors ; contour rectangulaire. $n = \dfrac{600}{0{,}30} = 2\,000$ spires par mètre.

$B = \mu_0 n I = 4\pi \times 10^{-7} \times 2\,000 \times 1{,}3 \approx 3{,}27 \times 10^{-3}\ \mathrm{T} \approx 3{,}27$ mT.

Le rayon de $1{,}2$ cm n'a servi qu'à vérifier la condition de validité : il n'entre pas dans le calcul, et c'est normal. Pour comparaison, un tore de $350$ spires, de rayon moyen $7{,}0$ cm, parcouru par $2{,}6$ A, crée sur son cercle moyen $\dfrac{\mu_0 N I}{2\pi r} = \dfrac{2 \times 10^{-7} \times 350 \times 2{,}6}{0{,}070} = 2{,}60$ mT : même ordre de grandeur.

Figure (fig.physics.magnetic-field, figure programmatique de la leçon sur le champ magnétique, réutilisée ici parce que ses lignes de champ sont celles que le théorème d'Ampère calcule) : quatre panneaux.

• Panneau 1, l'aimant droit. Dix lignes de champ fermées, du pôle nord au pôle sud à l'extérieur, revenant à l'intérieur du barreau sans jamais s'interrompre. Pour cette leçon : c'est l'image de « pas de charge magnétique ». Aucune ligne ne naît ni ne meurt ; le flux à travers toute surface fermée est nul.
• Panneau 2, la spire. Une spire parcourue par un courant, ses deux sections marquées « sortant » et « entrant », huit lignes fermées qui l'enlacent, et une main droite schématisée : doigts dans le sens du courant, pouce dans le sens du champ. Pour cette leçon : c'est la règle d'orientation du théorème d'Ampère. Chaque ligne de champ est un contour qui enlace le courant de la spire une fois : sa circulation vaut $\mu_0 I$, quelle que soit sa forme.
• Panneau 3, le solénoïde. Coupe d'un solénoïde de longueur égale à huit fois son rayon : au centre, des lignes droites, parallèles et équidistantes — champ axial et uniforme — qui s'évasent aux extrémités ; cartouche « $B = \mu_0 n I$, indépendant du rayon ». Pour cette leçon : c'est exactement le résultat du contour rectangulaire. L'évasement aux bouts rappelle que le modèle infini n'est valable qu'au centre d'un solénoïde long.
• Panneau 4, la boussole. Champ terrestre horizontal et champ d'un solénoïde orthogonaux, sommés en parallélogramme. Pour cette leçon : les champs magnétiques se superposent vectoriellement — et le théorème d'Ampère s'applique au champ total.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : le fil rectiligne infini, dont les lignes sont des cercles centrés sur lui dans chaque plan perpendiculaire, plus espacés à mesure qu'on s'éloigne (décroissance en $1/r$) ; l'intérieur d'un conducteur plein, où ces cercles se resserrent vers la surface ; et le tore, dont les lignes sont des cercles entièrement contenus dans l'anneau.