Mouvement circulaire uniforme et satellites : tomber sans jamais tomber

La question est celle de Newton lui-même, et elle mérite d'être prise au sérieux, parce que sa réponse n'est pas celle qu'on attend. La Lune tombe. La Station spatiale internationale aussi. Ce qui les empêche d'arriver au sol, ce n'est pas l'absence de gravité — à $400$ km d'altitude, l'attraction terrestre vaut encore près de $90\ \%$ de ce qu'elle vaut au niveau de la mer. C'est leur vitesse : elles tombent en avançant si vite que la Terre se dérobe sous elles à mesure. Cette leçon met cette phrase en équations.

Rappel : le mouvement circulaire uniforme n'est pas un mouvement sans accélération. C'était le premier résultat de la leçon sur le vecteur accélération. Sur un cercle parcouru à valeur de vitesse constante, la direction de la vitesse tourne sans arrêt, donc le vecteur vitesse varie, donc l'accélération n'est pas nulle. Elle est entièrement normale : dirigée vers le centre du cercle — on la dit centripète, ce qui signifie « qui tend vers le centre » — et sa valeur est

La deuxième loi de Newton fait le reste. Si l'accélération pointe vers le centre, alors, d'après $\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$, la somme des forces pointe vers le centre elle aussi. Un mouvement circulaire uniforme exige une force dirigée vers le centre, en permanence. Sans elle, le mobile continuerait tout droit — c'est le principe d'inertie. À la rupture du fil d’une bille en rotation, sa vitesse initiale est tangentielle. La trajectoire qui suit dépend des forces restantes : avec le poids, elle n’est pas nécessairement rectiligne. Elle serait une droite tangente seulement si la résultante devenait nulle.

Pour un satellite, cette force existe déjà : c'est la gravitation. Vous avez rencontré en seconde que deux corps s'attirent avec une force dirigée selon la droite qui les joint, de valeur

où $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻² est la constante de gravitation universelle, $M_T$ la masse de la Terre, $m$ celle du satellite, et $r$ la distance entre les centres des deux corps. Cette force est dirigée vers le centre de la Terre : exactement ce qu'il faut pour maintenir un mouvement circulaire.

Cadre du modèle. Le satellite a une masse constante très petite devant celle de l’astre central ; l’astre est modélisé sphérique, le satellite ponctuel et les autres interactions sont négligées. L’orbite est supposée circulaire. Le référentiel géocentrique est assimilé galiléen sur l’étude.

Écrivons-le. Système : le satellite. Référentiel géocentrique, supposé galiléen. Seule force : l'attraction gravitationnelle de la Terre. La deuxième loi de Newton donne

Regardez ce qui vient de se passer : la masse $m$ du satellite s'est simplifiée. La vitesse d'un satellite sur une orbite donnée ne dépend pas de sa masse — une station et un petit objet sur des orbites circulaires de même rayon ont la même vitesse dans ce modèle. À la même altitude seulement, deux objets sur des orbites différentes n’ont pas nécessairement la même vitesse. C'est la même simplification que dans la chute libre, et pour la même raison : la masse apparaît des deux côtés de l'égalité, comme masse pesante à gauche et comme masse inerte à droite.

Une seule grandeur commande tout : le rayon de l'orbite. Et ce rayon se compte depuis le centre de la Terre, pas depuis sa surface :

où $R_T = 6{,}37 \times 10^{6}$ m est le rayon terrestre et $h$ l'altitude. Confondre $r$ et $h$ est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : pour la Station spatiale internationale, $h = 400$ km alors que $r = 6\,770$ km, presque dix-sept fois plus. Un calcul mené avec $h$ donne une vitesse absurde, et rien dans l'écriture ne le signale.

Une conséquence contre-intuitive. Puisque $v = \sqrt{G M_T / r}$, plus un satellite est haut, plus il est lent. La station spatiale, à $400$ km, file à environ $7{,}7$ km/s ; un satellite géostationnaire, à près de $36\,000$ km, ne va qu'à $3{,}1$ km/s. Pour « monter », un lanceur doit d'abord fournir de l'énergie, mais le satellite arrivé là-haut tourne plus lentement. Rien de paradoxal : plus loin, l'attraction est plus faible, et il faut moins de vitesse pour que la trajectoire s'incurve juste assez.

La période de révolution. C'est la durée d'un tour complet. Le satellite parcourt la circonférence $2\pi r$ à la vitesse constante $v$, donc

En y reportant l'expression de la vitesse, on obtient une relation qui ne contient plus que le rayon :

Le membre de droite ne dépend que de l'astre attracteur : ni de la masse du satellite, ni de son orbite. Tous les satellites de masse négligeable sur des orbites circulaires autour de la Terre modélisée comme astre central partagent donc la même valeur du quotient $T^{2}/r^{3}$ ; toutes les planètes du Soleil en partagent une autre, la leur. C'est la troisième loi de Kepler, que vous venez de retrouver dans le cas des orbites circulaires.

Les trois lois de Kepler, et ce qu'on en fait au lycée. Johannes Kepler les a énoncées au début du dix-septième siècle à partir des observations de Tycho Brahe, avant Newton et sans la moindre notion de force.

1. Loi des orbites. Chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. Un cercle est le cas particulier où les deux foyers se confondent.
2. Loi des aires. Le segment qui joint le Soleil à la planète balaie des aires égales en des durées égales : la planète va donc plus vite quand elle est près du Soleil.
3. Loi des périodes. Le quotient du carré de la période par le cube du demi-grand axe est le même pour toutes les planètes d'un même astre.

Dans la progression retenue ici, les calculs de vitesse et d’accélération portent sur des cercles. La troisième loi utilise plus généralement le demi-grand axe pour une ellipse képlérienne ; elle n’exige pas d’assimiler cette ellipse à un cercle. Nous ne démontrons pas ici le caractère elliptique des orbites et nous négligeons les perturbations et la masse du satellite devant celle de l’astre central.

Le satellite géostationnaire. C'est un satellite qui reste en permanence au-dessus du même point de la surface terrestre — indispensable pour la télévision, où une antenne fixe doit viser toujours le même endroit du ciel. Quatre conditions, et elles se déduisent toutes de ce qui précède.

• Son orbite doit être circulaire : une orbite elliptique ne maintient pas une vitesse angulaire constante.
• Sa période doit être égale à celle de la rotation de la Terre sur elle-même, soit environ $23$ h $56$ min — le jour sidéral, un peu plus court que les $24$ h du jour solaire.
• Il doit tourner dans le même sens que la Terre.
• Son orbite doit être dans le plan de l'équateur : une orbite inclinée ferait osciller le satellite en latitude, et il ne resterait pas au-dessus du même point.

En reportant cette période dans la relation $r^{3} = \dfrac{G M_T T^{2}}{4\pi^{2}}$, on trouve un rayon d'environ $42\,100$ km, soit une altitude d'environ $35\,800$ km. Cette altitude n'est pas un choix : elle est imposée par la période exigée. Tous les satellites géostationnaires du monde se partagent donc un unique anneau au-dessus de l'équateur, ce qui en fait une ressource limitée et gérée internationalement.

Pas de force centrifuge dans le référentiel retenu. Dans notre modèle en référentiel assimilé galiléen, la seule force extérieure est la gravitation centrale. Elle produit l’accélération centripète ; elle n’est pas compensée par une force vers l’extérieur. Dans un référentiel tournant, on peut introduire des forces d’inertie, dont la force centrifuge, mais ce n’est pas le cadre utilisé ici.

Et l'impesanteur ? Les astronautes de la station flottent non pas parce qu'il n'y a plus de gravité, mais parce que la station et tout ce qu'elle contient sont en chute libre ensemble, avec la même accélération. Ils tombent de concert autour de la Terre. C'est le même phénomène que dans un ascenseur dont le câble céderait, et cela referme la boucle des quatre leçons : chute libre à une dimension, chute libre à deux dimensions, chute libre qui tourne en rond. Une seule loi, $\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$, et trois visages.

On donne $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg et $R_T = 6{,}37 \times 10^{6}$ m.

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Situation 1 — vitesse et période de la Station spatiale internationale.

La Station spatiale internationale décrit une orbite circulaire à l'altitude $h = 400$ km au-dessus de la surface terrestre. Calculer sa vitesse, puis sa période de révolution.

Système, référentiel, force. Système : la station. Référentiel géocentrique, supposé galiléen. Seule force : l'attraction gravitationnelle de la Terre, dirigée vers le centre de la Terre, de valeur $\dfrac{G M_T m}{r^{2}}$.

Deuxième loi de Newton. Le mouvement étant circulaire uniforme, l'accélération est centripète et vaut $\dfrac{v^{2}}{r}$ :

Le rayon de l'orbite — l'étape qu'on oublie.

La vitesse.

soit environ $7{,}67$ km/s, ou encore $27\,600$ km/h.

La période. Le périmètre de l'orbite vaut $2\pi r \approx 4{,}254 \times 10^{7}$ m, donc

Contrôle. Un tour du monde en une heure et demie environ : les équipages de la station voient effectivement seize levers de Soleil par jour. L'ordre de grandeur est le bon.

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Situation 2 — la période de Mars par la troisième loi de Kepler.

On assimile les orbites des planètes autour du Soleil à des cercles. La Terre décrit son orbite, de rayon $a_1 = 1{,}50 \times 10^{11}$ m, en $T_1 = 365$ jours. Le rayon de l'orbite de Mars vaut $a_2 = 2{,}28 \times 10^{11}$ m. Calculer la période de révolution de Mars.

La loi. Le quotient $\dfrac{T^{2}}{a^{3}}$ a la même valeur pour toutes les planètes du Soleil :

Le rapport des rayons.

Le cube, puis la racine.

La période.

Contrôle, et honnêteté sur l'écart. Mars est plus loin du Soleil que la Terre, donc sa période doit être plus longue : elle l'est, presque deux fois. La valeur tabulée de la période de révolution de Mars est de $687$ jours ; notre résultat en diffère d'environ un demi pour cent. L’arrondi des demi-grands axes fournis et de la période de référence suffit à produire cet écart. L’excentricité de Mars ne l’explique pas à elle seule : dans le modèle képlérien, la troisième loi reste valable pour une ellipse lorsque $a$ est son demi-grand axe. Un écart de cet ordre, expliqué, vaut mieux qu'un accord parfait obtenu en trichant sur les données.

Lisez le cercle du modèle. La Terre et l’orbite sont à la même échelle ; à quatre positions, les vitesses sont tangentes et les forces centrales. La distance $r$ part du centre : $r=R_T+h$. L’encart compare des orbites circulaires terrestres : une plus grande altitude correspond ici à une vitesse plus faible et une période plus longue.

Le graphique de Kepler compare $T^2$ à $a^3$, où $a$ est le demi-grand axe. Les points tabulés suivent approximativement une droite à l’arrondi des données près, pour des planètes de masse négligeable devant le Soleil. Les cases de droite rappellent le bilan en référentiel assimilé galiléen et la trajectoire tangente si toute résultante disparaissait, sans confondre ce cas avec un fil qui casse alors que le poids subsiste.