Onde plane électromagnétique dans le vide

Dans le vide, sans charge ni courant, les équations de Maxwell couplent les deux champs : un champ magnétique qui varie crée un champ électrique (Maxwell-Faraday), un champ électrique qui varie crée un champ magnétique (Maxwell-Ampère). En combinant les deux, chaque composante de $\vec{E}$ et de $\vec{B}$ obéit à l'équation de d'Alembert :

C'est une équation de propagation, à la vitesse $c$. Avec $\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{H \cdot m^{-1}}$ et $\varepsilon_0 \approx 8{,}854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}$, on trouve $c \approx 2{,}998 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$ : la vitesse de la lumière, que le Système international fixe exactement à $299\,792\,458\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$. La lumière est une onde électromagnétique.

L'onde plane progressive monochromatique (OPPM). C'est la solution la plus simple : un champ qui ne dépend que d'une coordonnée d'espace, $z$ par exemple, et du temps, sous la forme

La phase $\omega t - kz$ est constante quand $z$ augmente avec $t$ : l'onde progresse vers les $z$ croissants, de vecteur unitaire $\vec{u} = \vec{e_z}$. Avec $\omega t + kz$ ($k > 0$), elle progresserait vers les $z$ décroissants.

Relation de dispersion. Reportée dans l'équation de d'Alembert, cette forme impose

Dans le vide, toutes les fréquences vont à la même vitesse : le vide n'est pas dispersif.

La structure de l'onde. Les équations de Maxwell imposent trois propriétés de plus :

• transversalité : $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont tous deux perpendiculaires à la direction de propagation $\vec{u}$ (Maxwell-Gauss et Maxwell-Thomson) ;
• relation de structure (Maxwell-Faraday) :

où le signe $\times$ désigne ici le produit vectoriel, noté aussi $\wedge$ dans de nombreux manuels ;

• par conséquent, $\vec{B}$ est orthogonal à $\vec{E}$, en phase avec lui, et d'amplitude $B_0 = \dfrac{E_0}{c}$. Le trièdre $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{u})$ est direct.

Le calcul. Prenons $\vec{E} = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}$, où $\vec{e}$ est un vecteur unitaire constant perpendiculaire à $\vec{e_z}$. Le gradient de $\cos(\omega t - kz)$ vaut $k\sin(\omega t - kz)\,\vec{e_z}$, donc

Maxwell-Faraday, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$, s'intègre en temps (sans partie constante, qui ne serait pas une onde) :

Le facteur $\dfrac{k}{\omega} = \dfrac{1}{c}$ vient de la relation de dispersion ; le cosinus reste un cosinus (en phase) ; la direction est celle du produit vectoriel. En notation complexe, le même calcul se résume à : $\dfrac{\partial}{\partial t} \to j\omega$ et $\overrightarrow{\mathrm{rot}} \to -j\vec{k} \times$, d'où $\vec{B} = \dfrac{\vec{k} \times \vec{E}}{\omega}$.

Lire le sens de propagation. Tout se joue sur le signe entre $\omega t$ et $kz$, avec $k > 0$ :

• $\cos(\omega t - kz)$ : $\vec{u} = +\vec{e_z}$ ;
• $\cos(\omega t + kz)$ : $\vec{u} = -\vec{e_z}$, et le champ magnétique change de signe par rapport au cas précédent.

Produits vectoriels de base (trièdre direct) : $\vec{e_x} \times \vec{e_y} = \vec{e_z}$, $\vec{e_y} \times \vec{e_z} = \vec{e_x}$, $\vec{e_z} \times \vec{e_x} = \vec{e_y}$, et l'ordre inverse change le signe. Une erreur d'ordre donne le champ opposé.

Ordres de grandeur. $B_0 = E_0/c$ est minuscule : pour $E_0 = 100\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}$, $B_0 \approx 3 \times 10^{-7}$ T, plus de cent fois moins que le champ magnétique terrestre (de l'ordre de $5 \times 10^{-5}$ T). Écrire $B_0 = E_0$ revient à se tromper d'un facteur $c \approx 3 \times 10^{8}$ ; écrire $B_0 = c\,E_0$, d'un facteur $c^{2} \approx 9 \times 10^{16}$.

Énergie transportée. Le vecteur de Poynting $\vec{\Pi} = \dfrac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_0}$ (produit vectoriel) vaut, pour l'OPPM, $\dfrac{E^{2}}{\mu_0 c}\,\vec{u}$ : l'énergie va dans le sens de propagation. Sa moyenne temporelle fait apparaître la moyenne de $\cos^{2}$, qui vaut $\dfrac{1}{2}$ : $\langle \Pi \rangle = \dfrac{E_0^{2}}{2\mu_0 c}$.

Une idéalisation. Une OPPM est infinie dans l'espace et dans le temps : elle n'existe pas. Mais toute onde réelle se décompose en une somme d'OPPM, et loin de sa source, dans une petite région, une onde réelle ressemble à une onde plane. C'est pourquoi ce modèle est la brique de toute l'optique ondulatoire.

Énoncé. Dans le vide, une onde plane progressive monochromatique de longueur d'onde $\lambda = 500$ nm a pour champ électrique

On prend $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$.

1. Calculer $f$, $\omega$ et $k$.
2. Donner l'expression de $\vec{B}(M, t)$ et son amplitude.
3. Vérifier la transversalité et l'orthogonalité des deux champs.

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1. Dispersion. $\lambda f = c$, donc $f = \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}}{500 \times 10^{-9}}$.

$f = 6{,}00 \times 10^{14}$ Hz, $\omega = 2\pi f \approx 3{,}77 \times 10^{15}\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}$, $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} \approx 1{,}26 \times 10^{7}\ \mathrm{rad \cdot m^{-1}}$.

On vérifie $\omega/k = 3{,}00 \times 10^{8}$ : c'est bien $c$. (Une radiation du domaine visible.)

2. Champ magnétique. La phase s'écrit $\omega t - kz$ avec $k > 0$ : l'onde progresse vers les $z$ croissants, $\vec{u} = \vec{e_z}$. Relation de structure, par linéarité du produit vectoriel :

$\vec{B}(M, t) = \dfrac{E_0}{c}\cos(\omega t - kz)\,\dfrac{-4\,\vec{e_x} + 3\,\vec{e_y}}{5}$, d'amplitude $B_0 = \dfrac{E_0}{c} = \dfrac{90}{3{,}00 \times 10^{8}} = 3{,}00 \times 10^{-7}$ T.

Même cosinus que $\vec{E}$ : les deux champs sont en phase, ils s'annulent et sont maximaux aux mêmes instants.

3. Contrôles. Aucun des deux champs n'a de composante selon $\vec{e_z}$ : l'onde est transverse. Produit scalaire des directions : $3 \times (-4) + 4 \times 3 = 0$, les deux champs sont orthogonaux. Et $(3\,\vec{e_x} + 4\,\vec{e_y}) \times (-4\,\vec{e_x} + 3\,\vec{e_y}) = (9 + 16)\,\vec{e_z}$ : le produit vectoriel $\vec{E} \times \vec{B}$ pointe selon $+\vec{e_z}$, sens de propagation. Le trièdre est direct, et le vecteur de Poynting va dans le bon sens.

Ordre de grandeur énergétique. $\langle \Pi \rangle = \dfrac{E_0^{2}}{2\mu_0 c} = \dfrac{90^{2}}{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 3{,}00 \times 10^{8}} \approx 10{,}7\ \mathrm{W \cdot m^{-2}}$ : un capteur de $1\ \mathrm{cm^{2}}$ placé perpendiculairement à $\vec{u}$ reçoit environ $1{,}1$ mW.

Figure (fig.physics.periodic-waves, figure programmatique de la leçon de première sur les ondes périodiques, réutilisée ici parce qu'une OPPM est d'abord une onde doublement périodique) : deux graphiques et une vignette.

• Graphique du haut : l'élongation d'un point fixe d'une cuve à ondes en fonction du temps, une sinusoïde de période $T = 0{,}40$ s. Pour ce chapitre : c'est $\vec{E}$ en un point fixe, $z$ donné, qui varie comme $\cos(\omega t - kz)$ avec la période $T = 2\pi/\omega$.
• Graphique du milieu : l'élongation de tous les points à un instant fixe en fonction de la position, sinusoïde de même aspect et de longueur d'onde $\lambda = 8{,}0$ cm ; une double flèche dit « même forme, axes différents ». Pour ce chapitre : c'est $\vec{E}$ à $t$ donné le long de l'axe de propagation, de période spatiale $\lambda = 2\pi/k$.
• Vignette et bandeau : une cuve vue de dessus, crêtes rectilignes — des plans d'onde, comme ceux d'une onde plane — et la relation $\lambda = vT$. Pour ce chapitre : dans le vide, $v = c$ pour toutes les fréquences, et $\lambda = cT$ est exactement la relation de dispersion $\omega = ck$.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : une onde électromagnétique n'est pas une élongation de matière — rien ne « monte et descend », ce sont deux champs vectoriels. Imaginez sur l'axe $z$ deux sinusoïdes dans deux plans perpendiculaires, $\vec{E}$ dans l'un, $\vec{B}$ dans l'autre, qui passent par zéro aux mêmes points et culminent aux mêmes points (en phase), et dont le produit vectoriel pointe toujours vers l'avant. L'onde d'une cuve est mécanique et a besoin d'un milieu ; l'onde électromagnétique se propage dans le vide.