Lentilles minces dans les conditions de Gauss

L'optique géométrique décrit la lumière par des rayons, droites le long desquelles l'énergie se propage dans un milieu homogène. Ce modèle vaut tant que les obstacles et les ouvertures sont grands devant la longueur d'onde ; il ignore la diffraction.

Les conditions de Gauss. Une lentille réelle ne donne une image nette — un point image pour un point objet, c'est le stigmatisme — qu'approximativement. L'approximation est bonne si les rayons sont peu inclinés sur l'axe optique et le rencontrent près de l'axe : ce sont les conditions de Gauss. Toutes les relations de cette leçon les supposent.

Lentille mince, centre et foyers. Une lentille mince a un centre optique $O$ : un rayon qui y passe n'est pas dévié. Le foyer image $F'$ est le point où convergent (ou semblent converger) les rayons arrivant parallèles à l'axe ; le foyer objet $F$ est son symétrique par rapport à $O$. La distance focale image $f' = \overline{OF'}$ est positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente.

Valeurs algébriques. On oriente l'axe dans le sens de la lumière, de gauche à droite, et l'on compte toutes les positions depuis $O$. Un objet réel est avant la lentille : $\overline{OA} < 0$. Une image réelle est après : $\overline{OA'} > 0$ ; une image virtuelle est avant : $\overline{OA'} < 0$. Les hauteurs sont aussi algébriques, positives vers le haut.

Relations de Descartes (origine au centre).

La seconde vient de Thalès sur le rayon qui passe par $O$ sans être dévié. En isolant la position de l'image :

Deux signes, deux informations. Le signe de $\overline{OA'}$ donne la nature de l'image (réelle si positif, virtuelle si négatif). Le signe de $\gamma$ donne son sens (droite si positif, renversée si négatif). $|\gamma|$ dit si elle est agrandie ou réduite. Ce sont trois informations distinctes.

Trois rayons pour construire. Depuis un point $B$ de l'objet : (1) le rayon qui passe par $O$ n'est pas dévié ; (2) le rayon parallèle à l'axe ressort en passant par $F'$ (ou en semblant venir de $F'$ pour une divergente) ; (3) le rayon qui passe par $F$ (ou se dirige vers $F$) ressort parallèle à l'axe. Deux suffisent ; le troisième contrôle. Si les rayons émergents se coupent réellement, l'image est réelle ; si ce sont leurs prolongements qui se coupent, elle est virtuelle.

Lentille convergente, selon la position de l'objet réel.

• objet au-delà de $F$ ($\overline{OA} < -f'$) : image réelle et renversée ; agrandie entre $F$ et le point situé à $2f'$ avant la lentille, réduite au-delà ;
• objet dans le plan focal objet : image à l'infini ;
• objet entre $F$ et $O$ : image virtuelle, droite, agrandie — c'est la loupe.

Le foyer image n'est pas l'image. L'image se forme en $F'$ seulement pour un objet à l'infini. Pour un objet à distance finie, elle est ailleurs, et la relation de conjugaison dit où.

Lentille divergente. Pour un objet réel, l'image est toujours virtuelle, droite et réduite, située entre $F'$ (avant la lentille) et $O$.

Association de deux lentilles. On traite les lentilles l'une après l'autre : l'image $A'$ donnée par $L_1$ sert d'objet à $L_2$. Le seul point délicat est le changement d'origine : la position de $A'$ comptée depuis $O_2$ vaut

Si $A'$ est avant $L_2$ ($\overline{O_2A'} < 0$), c'est un objet réel pour $L_2$. Le grandissement total est le produit des grandissements.

Pourquoi des valeurs algébriques ? Avec des distances toutes positives, il faudrait une formule par cas (objet avant ou après le foyer, lentille convergente ou divergente, image réelle ou virtuelle). La convention algébrique fait tenir tous les cas dans une seule relation : le prix à payer est d'écrire $\overline{OA} < 0$ avant tout calcul.

Énoncé. Conditions de Gauss, lumière de gauche à droite.

1. Un objet réel $AB$ de hauteur $1{,}5$ cm est placé à $42$ cm devant une lentille convergente de distance focale image $f' = 18$ cm. Position, grandissement et taille de l'image.
2. Même lentille, objet à $10$ cm devant elle.
3. Objet à $28$ cm devant une lentille divergente, $f' = -12$ cm.
4. On place après la lentille de la question 1 une lentille convergente $L_2$ de distance focale $24$ cm, à $70$ cm de la première. Où se forme l'image finale ?

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1. Convergente. Objet réel, avant la lentille : $\overline{OA} = -42$ cm. Conjugaison :

$\overline{OA'} = +31{,}5$ cm : image réelle, $31{,}5$ cm après la lentille. $\gamma = \dfrac{31{,}5}{-42} = -0{,}75$ : image renversée et réduite. $\overline{A'B'} = \gamma\,\overline{AB} = -1{,}125$ cm.

Contrôle : $\dfrac{1}{31{,}5} - \dfrac{1}{-42} = \dfrac{4 + 3}{126} = \dfrac{1}{18}$. $\checkmark$ L'image n'est pas au foyer image ($18$ cm) : l'objet n'est pas à l'infini.

2. Loupe. $\overline{OA} = -10$ cm, entre $F$ et $O$ :

$\overline{OA'} = \dfrac{18 \times (-10)}{-10 + 18} = -22{,}5$ cm : image virtuelle, avant la lentille ; $\gamma = \dfrac{-22{,}5}{-10} = 2{,}25$ : droite et agrandie.

3. Divergente. $\overline{OA} = -28$ cm, $f' = -12$ cm :

$\overline{OA'} = \dfrac{(-12) \times (-28)}{-28 - 12} = \dfrac{336}{-40} = -8{,}4$ cm : image virtuelle ; $\gamma = \dfrac{-8{,}4}{-28} = 0{,}3$ : droite et réduite.

4. Doublet. L'image $A'$ donnée par $L_1$ est à $\overline{O_1A'} = 31{,}5$ cm. Changement d'origine : $\overline{O_2A'} = 31{,}5 - 70 = -38{,}5$ cm, objet réel pour $L_2$. Conjugaison par $L_2$ :

$\overline{O_2A''} = \dfrac{24 \times (-38{,}5)}{-38{,}5 + 24} = \dfrac{-924}{-14{,}5} \approx +63{,}7$ cm : image finale réelle, après $L_2$.

$\gamma_2 = \dfrac{63{,}7}{-38{,}5} \approx -1{,}66$, donc $\gamma = \gamma_1\gamma_2 \approx (-0{,}75) \times (-1{,}66) \approx 1{,}24$ : l'image finale est droite — deux renversements successifs — et un peu plus grande que l'objet.

Figure (fig.physics.thin-lenses-gauss, figure programmatique dessinée pour cette leçon avec les nombres de l'exemple) : deux constructions sur le même axe optique, orienté dans le sens de la lumière, autour d'une lentille convergente de distance focale $f' = 18$ cm. Les hauteurs sont dilatées quatre fois par rapport aux distances le long de l'axe pour rester lisibles, ce qui ne change ni les droites ni leurs intersections.

• Panneau du haut (question 1). L'objet $AB$ de $1{,}5$ cm est à $42$ cm avant la lentille, au-delà de $F$ ; trois rayons issus de $B$, distingués par le style du trait — plein pour le rayon parallèle qui repart par $F'$, tireté pour le rayon par $O$ non dévié, pointillé pour le rayon par $F$ qui ressort parallèle. Ils se coupent réellement en $B'$, $31{,}5$ cm après la lentille : image réelle, renversée, réduite, recueillie sur un écran. Les cartouches rappellent $\gamma = -0{,}75$, $\overline{A'B'} = -1{,}125$ cm et le contrôle $\dfrac{1}{31{,}5} + \dfrac{1}{42} = \dfrac{1}{18}$. Repérez sur la grille que $\overline{OA}$ est négative et $\overline{OA'}$ positive.
• Panneau du bas (question 2, la loupe). L'objet est à $10$ cm, entre $F$ et $O$ ; les trois rayons ressortent divergents, et ce sont leurs prolongements vers la gauche, en trait fin, qui se coupent en $B'$, $22{,}5$ cm avant la lentille : image virtuelle, droite, agrandie ($\gamma = +2{,}25$), observée par un œil à travers la lentille. $\overline{OA'} < 0$ et $\gamma > 0$.
• Bandeau. La convention de signes (axe orienté dans le sens de la lumière, origine en $O$), la relation de conjugaison, le grandissement, et ce que disent les signes de $\overline{OA'}$ et de $\gamma$.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : la lentille divergente, où le rayon parallèle ressort en semblant venir de $F'$ situé avant la lentille, et le doublet, où l'image du premier panneau devient l'objet d'une seconde lentille. Refaites la construction de la question 4 sur papier millimétré : deux renversements, une image droite.