L'oscillateur harmonique : période, énergie, phase

Un chariot relié à un ressort effectue des allers-retours. Un dispositif réel s’amortit et sa période peut varier. Modèle étudié : masse ponctuelle ou translation sans rotation, ressort linéaire de masse négligeable dans sa plage élastique, extrémité fixe, masse et raideur constantes, référentiel assimilé galiléen et pertes négligées. Dans ce modèle harmonique, une oscillation non nulle garde la même période quelle que soit son amplitude, tant que les hypothèses restent valides.

La cause : une force de rappel linéaire. Un ressort de raideur $k$, allongé ou comprimé de $x$ à partir de sa longueur naturelle, exerce sur la masse la force

dirigée vers la position d'équilibre — d'où le signe moins — et d'intensité proportionnelle à l'écart. Plus on s'éloigne, plus le rappel est fort ; exactement dans le même rapport.

La mise en équation. Le chariot de masse $m$ glisse horizontalement, sans frottement. Le poids et la réaction du support sont verticaux et se compensent ; la seule force horizontale est celle du ressort. La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe du mouvement, donne $m\,\ddot{x} = -k\,x$, soit

Équation de l'oscillateur harmonique. $\ddot{x} + \omega_0^{2}\,x = 0$, avec la pulsation propre

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad (\mathrm{rad\cdot s^{-1}}).$$

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre — celle que vous savez résoudre. Son équation caractéristique est $r^{2} + \omega_0^{2} = 0$, de discriminant strictement négatif, de racines $\pm i\omega_0$ : partie réelle nulle, partie imaginaire $\omega_0$. D'où la solution générale, sans enveloppe et sans amortissement :

Ce que chaque symbole désigne, et où il vient.

Cette séparation est le cœur de la leçon : le système fixe la période, l'expérimentateur fixe l'amplitude et la phase. C'est pourquoi la période ne dépend pas de l'amplitude — propriété appelée isochronisme — et c'est ce qui a permis, historiquement, de faire des horloges.

La période, en toutes lettres.

Lisez-la : une masse plus grande ralentit l'oscillation ($T_0$ augmente), un ressort plus raide l'accélère ($T_0$ diminue). Et c'est bien $m/k$ sous la racine, pas $k/m$ — un contrôle d'homogénéité le confirme en dix secondes, puisque $k$ s'exprime en $\mathrm{N\cdot m^{-1}} = \mathrm{kg\cdot s^{-2}}$, donc $m/k$ en $\mathrm{s^{2}}$.

L'énergie, ou l'oscillateur vu autrement. Pour un ressort de raideur $k$, l'énergie potentielle élastique vaut $E_p = \frac{1}{2}k x^{2}$, et l'énergie cinétique $E_c = \frac{1}{2}m v^{2}$. Sans frottement, leur somme se conserve. En prenant la position extrême, où la vitesse est nulle :

Cette écriture est riche. À système fixé et avec la convention de potentiel choisie, elle dit que l’énergie totale ne dépend que de l’amplitude — au carré, donc doubler l'amplitude quadruple l'énergie. Elle donne aussi la vitesse maximale, atteinte au passage par l'équilibre où toute l'énergie est cinétique :

Ce résultat se retrouve directement en dérivant $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ : $v(t) = -X_m\,\omega_0\sin(\omega_0 t + \varphi)$, dont l'amplitude est bien $X_m\omega_0$. Deux chemins, un seul résultat — et c'est un bon contrôle.

L’échange, et sa fréquence double. Pour une oscillation non nulle du modèle, au cours d’une période, l'énergie passe deux fois entièrement de la forme cinétique à la forme potentielle : aux deux extrémités, $E_c = 0$ et $E_p = E$ ; aux deux passages par le centre, l'inverse. Chaque forme d'énergie oscille donc à la fréquence $2f_0$, pas $f_0$. La position où les deux se partagent également se trouve en écrivant $E_p = E/2$ :

Une valeur remarquable, indépendante du système : c'est toujours à $71\ \%$ de l'amplitude que l'énergie se partage en deux moitiés égales.

Fixer $X_m$ et $\varphi$. Les conditions initiales $x(0) = x_0$ et $v(0) = v_0$ donnent, à partir de $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ :

d'où

Quatre cas se retiennent sans calcul et servent de contrôle : lâché sans vitesse depuis $x_0 > 0$, $\varphi = 0$ ; lâché sans vitesse depuis $x_0 < 0$, $\varphi = \pi$ ; lancé depuis l'équilibre vers les $x$ positifs, $\varphi = -\pi/2$ ; lancé depuis l'équilibre vers les $x$ négatifs, $\varphi = +\pi/2$. Pour $x_0\ne0$, la tangente détermine la phase à π près ; le signe de $x_0$ sélectionne le quadrant. Pour $x_0=0$ et $v_0>0$, prenez $\varphi=-\pi/2$ ; si $v_0<0$, prenez $\varphi=+\pi/2$. Si $x_0=v_0=0$, l’amplitude est nulle et la phase est indéterminée. Pour une amplitude non nulle, une synthèse est $\varphi=\operatorname{atan2}(-v_0/\omega_0,x_0)$ modulo $2\pi$.

Le ressort vertical dans le même modèle linéaire. Le mouvement reste dans la plage élastique, sans détente ni perte de contact, avec le même k constant. Suspendue, la masse s'immobilise à un allongement statique $x_{\text{éq}} = mg/k$. En repérant la position à partir de cette nouvelle origine, le poids disparaît de l'équation : il est exactement compensé par la tension supplémentaire du ressort. On retrouve $\ddot{X} + \omega_0^{2}X = 0$ avec le même $\omega_0 = \sqrt{k/m}$. La période d'un oscillateur vertical est celle de l'oscillateur horizontal ; seule la position d'équilibre a bougé. C'est un résultat contre-intuitif, et un classique d'oral.

---

Le pendule simple : un second oscillateur, sous condition. Une masse ponctuelle au bout d’un fil tendu inextensible de longueur $\ell$ et de masse négligeable, suspendu à un support fixe, dans une pesanteur uniforme ; résistances négligées. En projetant la deuxième loi de Newton sur la direction orthoradiale, on obtient

Cette équation n'est pas celle d'un oscillateur harmonique : $\sin\theta$ n'est pas proportionnel à $\theta$. Mais le développement limité vu en mathématiques donne $\sin\theta = \theta - \frac{\theta^{3}}{6} + o(\theta^{4})$, donc pour de petits angles en radians :

Deux remarques décisives. D'abord, la masse a disparu : la période d'un pendule ne dépend pas de la masse suspendue, dans l’approximation harmonique, seulement de sa longueur et du champ de pesanteur ; hors petits angles, l’amplitude intervient aussi. Ensuite, l'approximation exige des radians — $\sin\theta \approx \theta$ est faux en degrés, et c'est une erreur qui se voit d'un facteur $57$.

Jusqu'où l'approximation tient-elle ? La période réelle croît avec l'amplitude. La formule de Borda, qu’on admet ici comme développement aux petites amplitudes, en donne le premier terme correctif :

À $\theta_0 = 10° = 0{,}175$ rad, l'écart relatif vaut $\theta_0^{2}/16 = 0{,}0019$, soit $+0{,}19\ \%$ : à comparer à l’incertitude effectivement estimée du chronométrage. À $30°$, il monte à $1{,}7\ \%$, écart dont la détection dépend du protocole et de l’incertitude. L'isochronisme n'est donc pas une loi de la nature : c'est une approximation dont on sait chiffrer le domaine de validité, et savoir le chiffrer vaut mieux que de la réciter.

Énoncé. Dans les hypothèses du modèle harmonique annoncées, un chariot de masse $m = 0{,}250$ kg glisse sans frottement sur un banc à coussin d'air horizontal, relié à un ressort de raideur $k = 25$ N/m. On l'écarte de $X_m = 4{,}0$ cm de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale, à l'instant $t = 0$.

1. Calculer la pulsation propre, la période propre et la fréquence propre.
2. Calculer l'énergie mécanique et la vitesse maximale du chariot.
3. En quelle position l'énergie cinétique est-elle égale à l'énergie potentielle ?
4. Écrire $x(t)$.
5. On remplace le dispositif par un pendule simple de longueur $\ell = 0{,}60$ m, écarté de $\theta_0 = 10°$. Calculer sa période, puis l'écart à la formule des petits angles donné par la formule de Borda $T \approx T_0(1 + \theta_0^{2}/16)$. On donne $g = 9{,}81$ $\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

---

1. Les trois grandeurs du système.

Contrôle d'homogénéité. $k$ en $\mathrm{N\cdot m^{-1}} = \mathrm{kg\cdot s^{-2}}$, donc $k/m$ en $\mathrm{s^{-2}}$ et sa racine en $\mathrm{s^{-1}}$. $\checkmark$ Aucune de ces trois valeurs ne dépend de l'amplitude : elles sont fixées par le chariot et le ressort, un point c'est tout.

2. Énergie et vitesse maximale. L'amplitude en unités du système international vaut $X_m = 4{,}0 \times 10^{-2}$ m.

Contrôle par l'autre chemin. $\frac{1}{2}mv_{\max}^{2} = \frac{1}{2}\times0{,}250\times0{,}40^{2} = \frac{1}{2}\times0{,}250\times0{,}16 = 2{,}0\times10^{-2}$ J. On retrouve exactement $E$. $\checkmark$ Les deux expressions de l'énergie coïncident : c'est la conservation, vérifiée numériquement.

3. Le partage de l'énergie. On veut $E_c = E_p$, donc $E_p = E/2$ :

Soit $\pm 2{,}8$ cm, ce qui est bien $X_m/\sqrt{2} = 4{,}0/1{,}414 = 2{,}83$ cm. $\checkmark$ Le chariot passe donc quatre fois par période par une position où les deux énergies sont égales.

4. L'équation horaire. Le chariot est lâché sans vitesse depuis $x_0 = +X_m$ : l'amplitude est directement $X_m$, et la phase à l'origine est nulle, puisque $\cos(0) = 1$ donne bien $x(0) = X_m$ et $v(0) = -X_m\omega_0\sin(0) = 0$.

5. Le pendule.

Sur dix oscillations, un chronomètre lirait environ $15{,}5$ s — c'est ainsi qu'on mesure une période au laboratoire, pour répartir l’incertitude des deux déclenchements sur dix périodes, ce qui ne constitue pas dix mesures indépendantes.

Correction de Borda. On convertit d'abord l'angle : $\theta_0 = 10° = 10 \times \dfrac{\pi}{180} = 0{,}1745$ rad. Alors

soit un écart relatif de $\mathbf{+0{,}19\ \%}$, et une période réelle $T \approx 1{,}554 \times 1{,}0019 = 1{,}557$ s. L’écart vaut environ trois millisecondes par période ; sa négligence éventuelle se décide selon l’incertitude et la précision demandée. À $30°$ en revanche, $\theta_0 = 0{,}524$ rad et l'écart monterait à $1{,}7\ \%$, soit $27$ ms — à confronter à l’incertitude d’une mesure de dix périodes.

Contrôle général. Quatre réflexes. (a) Convertir en unités du système international AVANT tout calcul — centimètres en mètres, degrés en radians. (b) Vérifier l'homogénéité de chaque racine carrée : $m/k$ et $\ell/g$ sont des temps au carré, $k/m$ et $g/\ell$ des inverses de temps au carré. (c) Recalculer l'énergie par les deux chemins, cinétique au centre et potentielle au bord : elles doivent coïncider. (d) Se demander si la réponse dépend de l'amplitude : la période, non ; l'énergie et la vitesse maximale, oui.

Lisez les trois bandes du dessin existant. En haut, les trois positions du chariot montrent les extrêmes et le passage par l’équilibre du modèle linéaire sans pertes. Aux extrêmes, la vitesse est nulle et l’énergie potentielle maximale ; à l’équilibre, la vitesse scalaire est maximale. Les positions $x=\pm X_m/\sqrt2$ partagent l’énergie en deux.

Au milieu, position et composante de vitesse sont tracées sur deux périodes, avec des échelles verticales propres à chaque grandeur. Le quart de période hachuré indique leur déphasage. Une vitesse négative est un mouvement vers les x décroissants, pas une norme négative.

En bas, $E_p=E\cos^2(\omega_0t)$ et $E_c=E\sin^2(\omega_0t)$ varient à période $T_0/2$, tandis que la somme reste constante. Quatre repères sont marqués dans la première période ; le phénomène se répète dans la seconde. Ces instants isolés supposent une oscillation non nulle. Agrandir l’amplitude dans la plage linéaire change les échelles, pas la période du modèle.