Potentiel électrostatique et énergie potentielle

Le champ électrostatique est un vecteur : trois composantes en chaque point, qui s'ajoutent vectoriellement quand plusieurs charges agissent. Il cache pourtant une grandeur plus simple, un scalaire : le potentiel.

Une force conservative. Le travail de la force électrostatique $\vec{F} = q\vec{E}$ sur une charge $q$ qui va de $A$ à $B$ ne dépend pas du chemin suivi, seulement des points de départ et d'arrivée — comme le travail du poids. On dit que la circulation du champ électrostatique est conservative. On peut donc définir une fonction $V$ des seuls points de l'espace, le potentiel électrostatique, en volts, telle que

Champ et potentiel. Localement, le champ dérive du potentiel :

Le signe moins dit l'essentiel : le champ pointe vers les potentiels décroissants. Une charge positive livrée à elle-même descend les potentiels ; une charge négative les remonte.

Défini à une constante près. Seules les différences de potentiel ont un sens physique (elles donnent le travail). On fixe la constante par une convention : pour des charges ponctuelles, $V = 0$ à l'infini. Un potentiel nul en un point n'y impose donc pas un champ nul, et réciproquement.

La charge ponctuelle. Le champ de $q$ placée en $O$ est radial, $E(r) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$ ; on en déduit, avec $V(\infty) = 0$,

Le potentiel décroît en $1/r$, le champ en $1/r^{2}$. Le potentiel porte le signe de la charge.

Superposition. Les potentiels de plusieurs charges s'additionnent algébriquement : $V(M) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i \dfrac{q_i}{r_i}$. Pas de composantes, pas d'angles : c'est ce qui rend le potentiel plus facile à calculer que le champ.

Équipotentielles. Les surfaces où $V$ est constant sont perpendiculaires aux lignes de champ : se déplacer sur une équipotentielle ne coûte aucun travail. Pour une charge ponctuelle ce sont des sphères centrées sur elle ; entre deux plaques parallèles, des plans parallèles aux plaques.

Énergie potentielle d'une charge. Une charge $q$ placée en un point de potentiel $V$ possède l'énergie potentielle

et le travail de la force électrostatique vaut $W_{A \to B} = -\Delta E_p = q\,(V_A - V_B)$. Quand seule cette force travaille, l'énergie mécanique $E_c + qV$ se conserve.

Deux charges. L'énergie potentielle d'interaction de $q_1$ et $q_2$ distantes de $d$ vaut

symétrique en $q_1$ et $q_2$. C'est le travail qu'un opérateur doit fournir pour amener les deux charges de l'infini à la distance $d$. Positive pour deux charges de même signe (elles se repoussent, il a fallu les forcer), négative pour des signes contraires (le système est lié).

Le champ uniforme. Entre deux plaques parallèles distantes de $d$, portées aux potentiels $V_1 > V_2$, le champ est uniforme, $V$ varie linéairement de l'une à l'autre et

dirigé de la plaque au potentiel le plus haut vers la plaque au potentiel le plus bas. Une tension (en volts) divisée par une longueur donne un champ (en volts par mètre) : les deux grandeurs n'ont ni la même nature ni la même unité.

L'électronvolt. Un électron (charge $-e$) part sans vitesse et va vers un potentiel supérieur de $U$. Le travail de la force électrostatique vaut $W = (-e)\,(V_{\text{départ}} - V_{\text{arrivée}}) = (-e)(-U) = eU > 0$ : l'électron gagne l'énergie cinétique $eU$. Par définition, une charge $e$ accélérée sous $1$ V gagne un électronvolt :

L'électronvolt est une unité d'énergie, pas de potentiel ; il a la taille des énergies atomiques. La charge élémentaire, et donc l'électronvolt, sont exactes depuis la redéfinition du Système international de 2019.

Méthode générale. Pour un travail entre deux points : écrire le potentiel en chacun (avec la convention choisie), multiplier la différence par la charge avec son signe, interpréter le signe (travail moteur ou résistant). Le chemin réel n'intervient jamais.

Énoncé. Dans le vide, une charge ponctuelle $q = 3{,}0$ nC est fixée en $O$. On donne $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}$ et $V(\infty) = 0$.

1. Calculer le potentiel et la norme du champ au point $A$ situé à $7{,}0$ cm de $O$.
2. On ajoute une charge $q_2 = -4{,}0$ nC à $5{,}0$ cm de $A$. Que devient le potentiel en $A$ ?
3. Sans $q_2$, une charge $q' = -1{,}5$ nC va de $A$ à un point $B$ situé à $14$ cm de $O$. Calculer le travail de la force électrostatique.
4. Deux plaques parallèles distantes de $3{,}0$ cm sont soumises à $450$ V. Calculer le champ entre elles et l'énergie gagnée par un électron qui traverse cette tension.

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1. Avec $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99 \times 10^{9}$ SI, $q = 3{,}0 \times 10^{-9}$ C et $r = 0{,}070$ m :

$V_A = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \approx \dfrac{8{,}99 \times 10^{9} \times 3{,}0 \times 10^{-9}}{0{,}070} \approx 385$ V ; $\quad E_A = \dfrac{V_A}{r} \approx 5{,}51 \times 10^{3}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}$.

Un scalaire en volts, un vecteur en volts par mètre (radial, vers l'extérieur).

2. Superposition. La contribution de $q_2$ en $A$ vaut $\dfrac{8{,}99 \times 10^{9} \times (-4{,}0 \times 10^{-9})}{0{,}050} \approx -719$ V. Les potentiels s'additionnent :

$V_A \approx 385 - 719 \approx -334$ V.

Aucune géométrie n'a été nécessaire : seules les distances comptent. (Le champ, lui, exigerait de connaître l'angle entre les deux directions.)

3. Travail. $V_B = \dfrac{8{,}99 \times 10^{9} \times 3{,}0 \times 10^{-9}}{0{,}14} \approx 193$ V (deux fois moins qu'en $A$, à distance double), donc

$W_{A \to B} = q'\,(V_A - V_B) \approx (-1{,}5 \times 10^{-9}) \times (385 - 193) \approx -2{,}89 \times 10^{-7}\ \mathrm{J} = -0{,}289\ \mu\mathrm{J}$.

Travail résistant : la charge négative, attirée par $q$, est éloignée ; un opérateur doit fournir ce travail. Le chemin suivi n'a aucune importance.

4. Plaques et électron. $E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{450}{0{,}030}$.

$E = 1{,}50 \times 10^{4}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}$, de la plaque positive vers la plaque négative.

L'électron, de charge $-e$, remonte le champ vers la plaque au potentiel le plus haut :

$E_c = eU = 1{,}602 \times 10^{-19} \times 450 \approx 7{,}21 \times 10^{-17}$ J, soit exactement $450$ eV.

Figure (fig.physics.electric-field, figure programmatique de la leçon de première sur le champ électrique, réutilisée ici parce que le potentiel se lit sur les lignes de champ) : trois panneaux et un bandeau.

• Panneau de gauche. Une charge positive d'où partent douze lignes radiales fléchées vers l'extérieur, avec trois vecteurs $\vec{E}$ de longueurs $E$, $E/4$, $E/9$ aux distances $d$, $2d$, $3d$ ; en dessous, la même construction pour une charge négative, lignes fléchées vers elle. Pour cette leçon : en suivant une ligne dans le sens de la flèche, on descend les potentiels. Autour de la charge positive, $V$ décroît de l'intérieur vers l'extérieur, en $1/r$ — deux fois plus faible à $2d$, trois fois à $3d$, alors que le champ y est quatre et neuf fois plus faible. Autour de la charge négative, $V$ est négatif et remonte vers $0$ en s'éloignant.
• Panneau central. Deux plaques parallèles reliées à un générateur, la plaque de gauche marquée comme celle de potentiel le plus élevé ; entre elles, sept lignes horizontales de gauche à droite et trois vecteurs $\vec{E}$ identiques ; une charge d'essai positive poussée dans le sens du champ, une négative en sens inverse. Pour cette leçon : $V$ décroît linéairement de la plaque de gauche à celle de droite, $E = U/d$. La charge positive suit les potentiels décroissants ; la charge négative va vers la plaque de gauche — c'est l'électron de l'exemple.
• Panneau de droite. Le champ de pesanteur, radial autour de la Terre, uniforme dans une salle. Pour cette leçon : l'analogue gravitationnel, où l'énergie potentielle de pesanteur joue le rôle de $qV$.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut se représenter : les équipotentielles. Autour d'une charge, ce sont des cercles centrés sur elle dans le plan du dessin (des sphères dans l'espace), coupant chaque ligne radiale à angle droit ; entre les plaques, des droites verticales parallèles aux plaques. Dessinez-les au crayon sur la figure : partout, elles croisent les lignes de champ à angle droit.