Référentiel, trajectoire, vecteur position : décrire un mouvement sans ambiguïté

Vous êtes assis dans un train lancé à pleine vitesse. Êtes-vous immobile ? Pour le voyageur d'en face, oui : la distance entre vous ne change pas. Pour une personne restée sur le quai, certainement pas : vous vous déplacez à $300$ km/h. Qui a raison ? Les deux. Le mouvement n'est pas une propriété de l'objet seul : il dépend de l'observateur choisi. C'est la relativité du mouvement, et elle impose une discipline nouvelle par rapport au collège.

Décrire un mouvement exige de préciser par rapport à quoi on le décrit. Ce « par rapport à quoi » s'appelle le référentiel : un objet de référence supposé fixe, auquel on attache un repère d'espace (pour dire où) et une horloge (pour dire quand).

Trois référentiels reviennent sans cesse au lycée : le référentiel terrestre (lié au sol — celui de la vie courante), le référentiel géocentrique (lié au centre de la Terre, sans tourner avec elle — celui des satellites et de la Lune) et le référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil — celui des planètes).

Une fois le référentiel choisi, trois mots organisent toute la description.

Le système : l'objet dont on étudie le mouvement, réduit à un point quand sa taille ne joue pas de rôle. « Le train », « la balle », « le centre de la Lune ».

La trajectoire : l'ensemble des positions successivement occupées par le système dans le référentiel choisi. Sa forme donne le premier qualificatif du mouvement : trajectoire en ligne droite → mouvement rectiligne ; trajectoire en cercle → mouvement circulaire ; n'importe quelle autre courbe → mouvement curviligne (quelconque).

La vitesse : son évolution donne le second qualificatif. Si la valeur de la vitesse ne change pas, le mouvement est uniforme ; si elle augmente ou diminue, il est varié (accéléré ou ralenti). Un mouvement se qualifie toujours par ces deux informations : « rectiligne uniforme », « circulaire varié »…

Et tout, absolument tout, dépend du référentiel. Reprenez le voyageur du train : dans le référentiel du wagon, sa trajectoire est un point (il ne bouge pas) ; dans le référentiel terrestre et sur la portion de voie supposée rectiligne ici, c’est une ligne droite parcourue à grande vitesse. Même personne, même instant, deux descriptions différentes — et toutes deux correctes, chacune dans son référentiel. Voilà pourquoi un énoncé de mécanique commence toujours par la phrase rituelle : « dans le référentiel… ».

Le collège décrivait le mouvement avec un seul nombre, la vitesse moyenne $v = d/t$. Un nombre dit combien, mais pas dans quelle direction ni dans quel sens. La seconde introduit l'outil qui dit les trois à la fois : le vecteur, que vous connaissez du cours de mathématiques — un objet défini par une direction, un sens et une norme (une longueur).

Le vecteur position. Dans le repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$ attaché au référentiel, la position du système à l'instant $t$ est le point $M$, et le vecteur position est $\vec{OM}$. Ses coordonnées $(x\,;\,y)$ sont celles du point $M$ : dire « le vecteur position a pour coordonnées $(3\,;\,4)$ » ou « le système est au point $(3\,;\,4)$ », c'est dire la même chose. L'intérêt du vecteur apparaît dès qu'on compare deux instants.

Le vecteur déplacement. Entre une position $M_1(x_1\,;\,y_1)$ à la date $t_1$ et une position $M_2(x_2\,;\,y_2)$ à la date $t_2$, le vecteur déplacement est $\vec{M_1M_2}$. Ses coordonnées s'obtiennent par soustraction, arrivée moins départ :

Attention à une distinction que le vocabulaire courant écrase : le vecteur déplacement relie les deux positions en ligne droite. Sa norme n'est la distance parcourue que si le trajet est rectiligne et sans demi-tour ; sur un trajet en courbe, la distance parcourue (le long du chemin) est plus grande que la norme du déplacement (à vol d'oiseau).

Le vecteur vitesse moyenne. C'est le vecteur déplacement divisé par la durée du parcours $\Delta t = t_2 - t_1$ :

Diviser un vecteur par un nombre positif ne change ni sa direction ni son sens : le vecteur vitesse moyenne pointe du départ vers l'arrivée, et chacune de ses coordonnées vaut la coordonnée correspondante du déplacement divisée par $\Delta t$. Sa norme est la norme du vecteur vitesse moyenne, obtenue avec le déplacement et la durée. Elle n’est égale à la vitesse moyenne scalaire (distance parcourue divisée par la durée) que pour un trajet rectiligne sans retour. Deux positions datées ne suffisent pas à connaître la distance réellement parcourue.

Calculer une norme. Le repère étant orthonormé, la norme d'un vecteur de coordonnées $(a\,;\,b)$ se calcule par le théorème de Pythagore : $\sqrt{a^2 + b^2}$. C'est le seul outil mathématique nouveau que demande cette leçon, et il vient tout droit du cours de mathématiques sur les vecteurs.

Lire une chronophotographie. Au laboratoire, on enregistre souvent le mouvement par une chronophotographie : une image qui superpose les positions du système à intervalles de temps égaux. Deux lectures s'y font d'un coup d'œil. La forme du nuage de points donne la trajectoire — mais attention, la chronophotographie n'EST pas la trajectoire : elle n'en montre que quelques positions, prises à intervalles réguliers ; la trajectoire est la ligne continue qui passe par toutes. L’espacement renseigne sur les vitesses moyennes entre relevés. Pour un mouvement lisse suffisamment résolu et les trajectoires simples étudiées, des espacements constants suggèrent un mouvement uniforme ; des espacements croissants ou décroissants suggèrent une évolution de l’allure. Ils ne prouvent pas à eux seuls le comportement à chaque instant entre deux photos.

Où pointe le vecteur vitesse ? En chaque point de la trajectoire, le vecteur vitesse indique la direction que suit le système à cet instant : si le mouvement est dérivable et le vecteur vitesse non nul, il est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du parcours. À l’arrêt, le vecteur nul n’a ni direction ni sens. Le cas qui piège tout le monde est le mouvement circulaire uniforme : la valeur de la vitesse y est constante, mais sa direction change à chaque instant — le vecteur vitesse n'est donc pas constant, alors que le compteur, lui, ne bouge pas. Cette distinction entre la valeur et le vecteur prépare directement le principe d'inertie, la leçon suivante.

Énoncé. Dans le référentiel terrestre, on repère la position d'un cycliste dans un plan horizontal muni d'un repère orthonormé gradué en mètres (vue de dessus). À la date $t_1$, il se trouve au point $M_1(15\,;\,-20)$. À la date $t_2 = t_1 + 10$ s, il se trouve au point $M_2(75\,;\,25)$.

Question 1. Calculer les coordonnées du vecteur déplacement $\vec{M_1M_2}$.

Question 2. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse moyenne entre $t_1$ et $t_2$.

Question 3. Calculer la norme du vecteur vitesse moyenne. Le résultat est-il vraisemblable ?

---

Question 1 — le vecteur déplacement.

1. Nommer le cadre. Le référentiel est terrestre, le système est le cycliste : toutes les coordonnées sont celles du repère lié au sol.

2. Soustraire, arrivée moins départ.

Le vecteur déplacement a pour coordonnées $\vec{M_1M_2}\,(60\,;\,45)$, en mètres.

Le piège classique se cache dans l'ordonnée : soustraire $-20$, c'est ajouter $20$. Écrire la parenthèse avant de calculer évite l'erreur de signe.

Question 2 — le vecteur vitesse moyenne.

1. Identifier la durée. $\Delta t = t_2 - t_1 = 10$ s.

2. Diviser chaque coordonnée du déplacement par la durée.

Le vecteur vitesse moyenne a pour coordonnées $\vec{v}\,(6\,;\,4{,}5)$, en mètres par seconde.

Ce vecteur a exactement la direction et le sens du déplacement : diviser par une durée positive ne fait que raccourcir la flèche.

Question 3 — la norme du vecteur vitesse moyenne.

1. Calculer la norme du déplacement (repère orthonormé, donc Pythagore) :

Le déplacement mesure $75$ m.

2. Diviser par la durée.

La norme du vecteur vitesse moyenne est $v = 7{,}5$ m/s.

3. Contrôler la vraisemblance. $7{,}5$ m/s font $7{,}5 \times 3{,}6 = 27$ km/h : une allure soutenue mais banale pour un cycliste. Pour un trajet rectiligne sans retour, cette norme coïnciderait avec la vitesse moyenne scalaire. Un résultat de $270$ km/h inviterait ici à vérifier le calcul — le plus souvent une durée oubliée ou une norme calculée comme une somme de coordonnées ($60 + 45 = 105$, qui est faux : on ne calcule pas une norme en additionnant simplement les coordonnées).

Le panneau de gauche représente le déplacement entre les deux positions datées : composantes 60 m et 45 m, norme 75 m. En divisant chaque composante par 10 s, on obtient le vecteur vitesse moyenne (6 ; 4,5) m/s, de norme 7,5 m/s. Le segment reliant les positions ne révèle pas tout le chemin réellement parcouru.

Le panneau du voyageur illustre le choix du référentiel. Les chronophotographies du bas représentent des modèles de mouvements rectilignes à intervalles de temps égaux ; l’espacement fournit des indications sur la vitesse entre relevés, sans déterminer à lui seul chaque instant intermédiaire. Un vecteur vitesse instantanée non nul est tangent à une trajectoire régulière, dans le sens du parcours.