Régime sinusoïdal forcé : impédances et résonance

Branchez un générateur basse fréquence aux bornes d'un circuit RLC série. Au début, le régime libre de la leçon précédente se superpose au signal imposé ; il s'éteint en quelques constantes de temps. Il reste le régime sinusoïdal forcé : toutes les tensions et l'intensité sont sinusoïdales, à la fréquence du générateur, avec des amplitudes et des phases propres. Le problème se réduit à trouver deux nombres par grandeur : une amplitude et un déphasage.

La notation complexe. À $i(t) = I_m\cos(\omega t + \varphi)$ on associe le complexe $i_c = I_m\,e^{j(\omega t + \varphi)}$, dont $i$ est la partie réelle ($j^{2} = -1$) ; on note de même $u_c$, $e_c$. L'intérêt : dériver revient à multiplier par $j\omega$. Les équations différentielles deviennent des équations algébriques.

Les impédances complexes. Le rapport $u_c/i_c$ d'un dipôle linéaire en convention récepteur est son impédance $Z$, en ohms :

• conducteur ohmique : $Z_R = R$ ;
• bobine idéale : $u = L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ donne $Z_L = jL\omega$ ;
• condensateur : $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ donne $Z_C = \dfrac{1}{jC\omega}$.

Les lois de Kirchhoff restent vraies en complexes ; en série, les impédances complexes s'additionnent :

On n'additionne jamais les modules : les tensions de la bobine et du condensateur sont en opposition de phase et se compensent en partie.

Amplitude et déphasage. Avec $e(t) = E\cos(\omega t)$, la loi des mailles donne $e_c = Z\,i_c$, donc

Comme $R > 0$, $\arg Z$ est compris entre $-90°$ et $90°$. Si $X > 0$ (dipôle inductif), $\varphi < 0$ : l'intensité est en retard sur la tension. Si $X < 0$ (dipôle capacitif), elle est en avance.

Valeur efficace et puissance. Pour un signal sinusoïdal, la valeur efficace est l'amplitude divisée par $\sqrt{2}$ : $I_{\text{eff}} = I_m/\sqrt{2}$. La bobine et le condensateur idéaux stockent et restituent ; seul le conducteur ohmique dissipe en moyenne :

Le facteur de puissance $\cos\varphi$ manque si l'on écrit simplement $U_{\text{eff}} I_{\text{eff}}$ : ce produit est la puissance apparente, pas la puissance dissipée.

Où est le maximum ? $I_m = \dfrac{E}{\sqrt{R^{2} + X^{2}}}$ est maximale quand $X = L\omega - \dfrac{1}{C\omega}$ s'annule, soit $LC\omega^{2} = 1$ :

La résonance en intensité du RLC série a lieu exactement à la pulsation propre, quelle que soit la résistance. $R$ ne déplace pas le pic : il en fixe la hauteur, $I_{\max} = E/R$, et la largeur. À la résonance, $Z = R$ : le circuit se comporte comme la seule résistance, et l'intensité est en phase avec la tension.

La bande passante. C'est l'intervalle de fréquences où $I_m \ge \dfrac{I_{\max}}{\sqrt{2}}$. La condition s'écrit $R^{2} + X^{2} \le 2R^{2}$, soit $|X| \le R$. Les deux pulsations de coupure vérifient $L\omega - \dfrac{1}{C\omega} = \pm R$, deux équations du second degré en $\omega$ ; la différence de leurs racines positives vaut exactement $\dfrac{R}{L}$. D'où

On retrouve le facteur de qualité du régime libre : un circuit peu amorti (grand $Q$) a une résonance aiguë, un circuit très amorti une résonance floue. Les deux régimes, libre et forcé, mesurent la même chose.

Hors résonance. En dessous de $f_0$, $\dfrac{1}{C\omega} > L\omega$ : le circuit est capacitif, le courant est en avance. Au-dessus, il est inductif, le courant est en retard. Le déphasage passe de $+90°$ (très basse fréquence) à $-90°$ (très haute fréquence) en passant par $0$ à $f_0$.

Une conséquence à connaître. À la résonance, l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur vaut $\dfrac{I_{\max}}{C\omega_0} = Q\,E$ : avec $Q = 10$, un générateur de $4$ V produit $40$ V aux bornes du condensateur. C'est la surtension à la résonance — sans danger dans un circuit de travaux pratiques, à surveiller dans un circuit de puissance.

Représentation de Fresnel. Chaque grandeur sinusoïdale peut se dessiner comme un vecteur tournant de longueur l'amplitude ; la somme des tensions devient une somme de vecteurs. C'est la même chose que les complexes, en dessin : la tension de la bobine est en avance d'un quart de tour sur $i$, celle du condensateur en retard d'un quart de tour, celle de la résistance en phase.

Énoncé. Un circuit série comprend $R = 68\ \Omega$, une bobine idéale $L = 150$ mH et un condensateur $C = 0{,}33\ \mu\mathrm{F}$. Un GBF impose $e(t) = E\cos(\omega t)$ avec $E = 8{,}0$ V et $f = 800$ Hz ; le régime forcé est établi. On écrit $i(t) = I_m\cos(\omega t + \varphi)$.

1. Calculer $I_m$ et $\varphi$.
2. Calculer la puissance moyenne dissipée.
3. Calculer la fréquence de résonance, la largeur de la bande passante et le facteur de qualité.

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1. Impédance d'abord. $\omega = 2\pi \times 800 \approx 5{,}03 \times 10^{3}\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}$. Partie imaginaire :

Module : $|Z| = \sqrt{68^{2} + 151^{2}} \approx 166\ \Omega$.

$I_m = \dfrac{E}{|Z|} \approx \dfrac{8{,}0}{166} \approx 48{,}3$ mA.

Additionner les modules, $68 + 754 + 603 \approx 1{,}43 \times 10^{3}\ \Omega$, aurait donné $5{,}6$ mA : près de neuf fois trop peu.

$\varphi = -\arctan\dfrac{X}{R} = -\arctan\dfrac{151}{68} \approx -65{,}8°$.

Négatif : à $800$ Hz, au-dessus de la résonance, l'intensité est en retard sur la tension.

2. Puissance. $P = \dfrac{1}{2} R I_m^{2} = \dfrac{1}{2} \times 68 \times (0{,}0483)^{2}$.

$P \approx 79{,}2$ mW.

Contrôle : $\cos\varphi = R/|Z| \approx 0{,}410$ et la puissance apparente $\dfrac{1}{2} E I_m \approx 193$ mW ; leur produit redonne bien $79{,}2$ mW.

3. Résonance. $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{0{,}150 \times 3{,}3 \times 10^{-7}}}$.

$f_0 \approx 715$ Hz, et $\Delta f = \dfrac{R}{2\pi L} = \dfrac{68}{2\pi \times 0{,}150} \approx 72{,}2$ Hz.

Donc $Q = f_0/\Delta f \approx 9{,}9$ : résonance aiguë. À $f_0$, l'intensité atteindrait $E/R \approx 118$ mA, en phase avec $e$. À $800$ Hz, on est à un peu plus d'une largeur de bande au-dessus de $f_0$ : l'amplitude est déjà tombée à $41$ % du maximum.

Figure (fig.physics.harmonic-oscillator, figure programmatique de la leçon sur l'oscillateur harmonique, réutilisée ici pour ses deux idées centrales : la quadrature et l'échange d'énergie) : trois bandes empilées.

• Bande du haut. Un chariot accroché à un ressort, à trois positions : écarté au maximum (vitesse nulle, énergie toute potentielle), au centre (vitesse maximale, énergie toute cinétique), écarté de l'autre côté. Pour ce chapitre : remplacez la position par la charge $q$ du condensateur et la vitesse par l'intensité $i = \mathrm{d}q/\mathrm{d}t$. Le condensateur est « plein » quand le courant est nul, et le courant est maximal quand le condensateur est vide.
• Bande du milieu. Position $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t)$ en trait plein et vitesse en trait tireté, sur deux périodes ; le premier quart de période est hachuré avec la mention « la vitesse est en avance d'un quart de période ». Pour ce chapitre : c'est la quadrature : en complexes, $i_c = jC\omega\,u_c$ aux bornes du condensateur, l'intensité en avance de $90°$ sur sa tension. La multiplication par $j$ de la notation complexe est exactement ce décalage d'un quart de période.
• Bande du bas. Énergie cinétique et énergie potentielle, en opposition, de période moitié, et leur somme constante en trait épais. Pour ce chapitre : à la résonance, l'énergie passe de même du condensateur ($\frac{1}{2} C u_C^{2}$) à la bobine ($\frac{1}{2} L i^{2}$) ; le générateur ne fournit en moyenne que ce que la résistance dissipe.

Ce que la figure ne montre pas : la courbe de résonance elle-même, $I_m$ en fonction de $f$, maximale en $f_0$, de largeur $\Delta f$ à $I_{\max}/\sqrt{2}$ — plus haute et plus étroite quand $R$ diminue, toujours centrée sur $f_0$ ; et le déphasage $\varphi(f)$, qui passe de $+90°$ à $-90°$ en s'annulant à $f_0$. Tracez-les à la main pour l'exemple : c'est le meilleur exercice de ce chapitre.