Circuit RLC série : le régime libre

Un condensateur chargé, une bobine et un conducteur ohmique en série : à la fermeture de l'interrupteur, l'énergie stockée dans le condensateur passe dans la bobine, revient, repasse… et s'use à chaque passage dans la résistance. Le circuit RLC série libre est l'oscillateur amorti de l'électricité.

La bobine idéale. En convention récepteur, la tension à ses bornes est proportionnelle à la dérivée de l'intensité :

où $L$ est l'inductance, en henrys (H). Conséquence capitale : l'intensité dans une bobine ne peut pas sauter, sinon $u_L$ serait infinie. C'est le pendant de la règle du condensateur, dont la tension $u_C$ ne peut pas sauter (sa charge $q = C u_C$ varie continûment).

L'équation du circuit. Sans générateur, la loi des mailles s'écrit $u_L + u_R + u_C = 0$, avec $u_R = R i$ et $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$. On obtient

que l'on met sous la forme canonique

• $\omega_0$ est la pulsation propre : celle du circuit sans résistance, qui oscillerait indéfiniment avec la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. Elle ne dépend pas de $R$.
• $Q$ est le facteur de qualité, sans unité ($\sqrt{L/C}$ est en ohms). Il est inversement proportionnel à $R$ : plus la résistance est grande, plus l'amortissement est fort et plus $Q$ est petit.

Trois régimes, selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique $r^{2} + \dfrac{\omega_0}{Q}\,r + \omega_0^{2} = 0$ :

• $Q > \dfrac{1}{2}$ : régime pseudo-périodique, $u_C$ oscille dans une enveloppe exponentielle décroissante ;
• $Q = \dfrac{1}{2}$, soit $R = R_c = 2\sqrt{L/C}$ : régime critique, retour au repos le plus rapide sans oscillation ;
• $Q < \dfrac{1}{2}$ : régime apériodique, retour au repos sans oscillation, plus lent que le critique.

Dans les trois cas, l'état final est le même : $i = 0$ et $u_C = 0$. Un circuit RLC libre ne garde jamais d'oscillation permanente.

Conditions initiales : les bonnes grandeurs continues. Le condensateur, chargé sous $U_0$, est relié à $t = 0$ à la bobine et à la résistance. Juste après la fermeture ($t = 0^{+}$) :

• $u_C(0^{+}) = u_C(0^{-}) = U_0$ — continuité de la tension du condensateur ;
• $i(0^{+}) = i(0^{-}) = 0$ — continuité de l'intensité dans la bobine.

La seconde donne la dérivée initiale : $i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ nul impose $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(0^{+}) = 0$. En revanche, la tension de la bobine saute : à $t = 0^{+}$, $u_R = 0$ et $u_L = -u_C = -U_0$, donc $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}(0^{+}) = -\dfrac{U_0}{L}$. Écrire « $u_L$ continue » ou « $i$ dans le condensateur continue » est l'erreur classique du chapitre.

Pseudo-pulsation et pseudo-période. En régime pseudo-périodique, les racines sont complexes conjuguées, $r = -\dfrac{\omega_0}{2Q} \pm j\,\omega$, avec la pseudo-pulsation

La solution s'écrit $u_C(t) = A\,e^{-t/\tau}\cos(\omega t + \varphi)$, avec $\tau = \dfrac{2Q}{\omega_0} = \dfrac{2L}{R}$ ; les constantes $A$ et $\varphi$ viennent des deux conditions initiales. La pseudo-période $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ est plus longue que la période propre $T_0$ ; l'écart est faible dès que $Q$ est grand, mais il n'est jamais nul. Confondre $\omega$ et $\omega_0$ fait perdre ce facteur.

Ordre de grandeur utile. Le rapport de deux maxima successifs de $u_C$ vaut $e^{T/\tau}$ ; son logarithme, le décrément logarithmique, vaut $\dfrac{T}{\tau} \approx \dfrac{\pi}{Q}$ quand $Q$ est grand. Quand $Q$ dépasse quelques unités, c'est $Q$ lui-même (et non le décrément) qui donne l'ordre de grandeur du nombre d'oscillations visibles avant l'extinction.

Bilan d'énergie. Multiplions la loi des mailles par $i$ :

L'énergie du circuit, partagée entre le condensateur ($\frac{1}{2} C u_C^{2}$) et la bobine ($\frac{1}{2} L i^{2}$), décroît à chaque instant : la puissance $R i^{2}$ part en effet Joule. À $t = 0^{+}$, tout est dans le condensateur ($i = 0$) ; à la fin, il ne reste rien ($u_C = 0$, $i = 0$). L'énergie dissipée jusqu'au repos vaut donc $\frac{1}{2} C U_0^{2}$, quels que soient $R$ et $L$ — eux fixent la durée du transitoire, pas l'énergie à dissiper.

L'analogie mécanique. $L \leftrightarrow m$ (inertie), $\dfrac{1}{C} \leftrightarrow k$ (raideur), $R \leftrightarrow$ coefficient de frottement fluide, $q \leftrightarrow x$, $i \leftrightarrow v$. Les mêmes équations ont les mêmes solutions : tout ce que l'on sait de l'oscillateur amorti se transpose terme à terme.

Énoncé. Un condensateur de capacité $C = 0{,}33\ \mu\mathrm{F}$, chargé sous $U_0 = 4{,}0$ V, est relié à $t = 0$ à une bobine idéale d'inductance $L = 180$ mH en série avec un conducteur ohmique de résistance $R = 390\ \Omega$.

1. Calculer la pulsation propre, la période propre et le facteur de qualité ; en déduire le régime.
2. Calculer la pseudo-période et la comparer à la période propre.
3. Quelle énergie la résistance aura-t-elle dissipée quand le circuit sera revenu au repos ?

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1. Grandeurs propres. En unités SI, $L = 0{,}180$ H et $C = 3{,}3 \times 10^{-7}$ F.

Ensuite $\sqrt{L/C} = \sqrt{0{,}180 / 3{,}3 \times 10^{-7}} \approx 739\ \Omega$, donc

$Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}} \approx \dfrac{739}{390} \approx 1{,}89$.

Comme $Q > \dfrac{1}{2}$, le régime est pseudo-périodique. Autre lecture : la résistance critique vaut $R_c = 2\sqrt{L/C} \approx 1{,}48 \times 10^{3}\ \Omega$, et $R = 390\ \Omega < R_c$. Avec $R = 1{,}8$ kΩ, on aurait $Q \approx 0{,}41 < \dfrac{1}{2}$ : apériodique.

2. Pseudo-période. $\dfrac{1}{4Q^{2}} = \dfrac{R^{2}C}{4L} \approx 0{,}0697$, donc

$T \approx 1{,}59$ ms, soit environ $4$ % de plus que $T_0$.

L'écart est petit mais lisible à trois chiffres : répondre $T_0$ serait faux. Les oscillations s'éteignent avec la constante de temps $\tau = \dfrac{2L}{R} \approx 0{,}92$ ms, plus courte que $T$ : d'un maximum au suivant, l'amplitude est divisée par plus de cinq, et l'on ne distingue que deux ou trois oscillations, cohérent avec $Q \approx 2$.

3. Énergie. Juste après la fermeture, $u_C = U_0$ et $i = 0$ (continuités) : toute l'énergie est dans le condensateur. Au repos, $u_C = 0$ et $i = 0$ : il ne reste rien. La résistance a donc tout dissipé :

$E_J = \dfrac{1}{2} C U_0^{2} = \dfrac{1}{2} \times 3{,}3 \times 10^{-7} \times 4{,}0^{2} \approx 2{,}64\ \mu\mathrm{J}$.

Contrôle. À $t = 0^{+}$, $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{U_0}{L} \approx -22{,}2\ \mathrm{A \cdot s^{-1}}$ : l'intensité démarre de zéro avec une pente finie, la tension $u_L$ a sauté de $0$ à $-U_0$. C'est cohérent avec la continuité de $i$, pas avec celle de $u_L$.

Figure (fig.physics.damped-oscillator, figure programmatique de la leçon sur l'oscillateur amorti, réutilisée ici parce que le circuit RLC obéit à la même équation) : deux graphiques.

• À gauche, trois courbes partent du même point, un lâcher à $5$ cm sans vitesse, pour une pulsation propre de $20{,}0\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}$ : $Q = 5$ en trait plein (pseudo-périodique), $Q = 0{,}5$ en tireté (critique), $Q = 0{,}15$ en pointillé (apériodique). Une bande grisée marque l'instant où la courbe critique passe sous $1$ % de l'amplitude initiale, alors que la courbe apériodique en est encore loin. Pour ce circuit, lisez l'axe vertical comme la tension $u_C$ (en remplaçant le lâcher à $5$ cm par la charge initiale sous $U_0$) : les trois tracés sont les trois régimes obtenus en augmentant $R$. La pente nulle au départ des trois courbes est la traduction de $i(0^{+}) = 0$, la continuité de l'intensité dans la bobine.
• À droite, la seule courbe $Q = 5$ agrandie, encadrée par son enveloppe exponentielle en trait fin ; les trois premiers maxima sont marqués, la pseudo-période $T$ est cotée entre les deux premiers, et la période propre $T_0$, plus courte, est reportée en pointillé avec un agrandissement de l'écart. Pour ce circuit : c'est exactement la comparaison $T > T_0$ de l'exemple, et le rapport de deux maxima successifs, dont le logarithme est le décrément, se lit sur les disques.

Ce que la figure ne montre pas : l'intensité $i(t)$, qui part de zéro et dont la pente initiale vaut $-U_0/L$ ; le partage de l'énergie entre condensateur et bobine, qui oscille deux fois par pseudo-période pendant que le total décroît ; et le schéma du circuit lui-même, à se représenter avec les tensions fléchées en convention récepteur.