Solide en rotation autour d'un axe fixe

Un volant, une roue, une meule : chaque point tourne autour du même axe fixe, sur un cercle qui lui est propre. Un point proche de l'axe va lentement, un point du bord va vite. Pourtant une seule grandeur décrit le mouvement de tout le solide.

Une vitesse angulaire commune. Un solide est indéformable : les distances entre ses points ne changent pas. En rotation autour d'un axe fixe $\Delta$, tous ses points tournent du même angle $\theta(t)$ pendant le même temps : ils ont la même vitesse angulaire $\omega = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$, en $\mathrm{rad \cdot s^{-1}}$. Un point à la distance $r$ de l'axe a la vitesse $v = r\,\omega$. Une vitesse donnée en tours par minute se convertit : un tour vaut $2\pi$ rad, une minute $60$ s, donc $\omega = \dfrac{2\pi N}{60}$.

Le moment d'inertie. L'énergie cinétique du solide est la somme de celles de ses points :

La grandeur $J_\Delta = \sum m_i r_i^{2}$, en $\mathrm{kg \cdot m^{2}}$, est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe. Elle ne dépend pas seulement de la masse, mais de sa répartition : une masse loin de l'axe compte quatre fois plus qu'à mi-distance. Elle dépend donc de l'axe choisi.

Quelques valeurs usuelles, pour un solide homogène de masse $M$ :

• anneau mince de rayon $R$, autour de son axe : $J = M R^{2}$ (toute la masse au bord) ;
• disque ou cylindre plein de rayon $R$, autour de son axe : $J = \dfrac{1}{2} M R^{2}$ ;
• sphère pleine de rayon $R$, autour d'un diamètre : $J = \dfrac{2}{5} M R^{2}$ ;
• tige mince de longueur $L$, autour d'un axe perpendiculaire passant par son milieu : $J = \dfrac{1}{12} M L^{2}$.

Le théorème du moment cinétique. Le moment cinétique du solide par rapport à l'axe vaut $L_\Delta = J_\Delta\,\omega$. Sa dérivée est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à l'axe (le couple total $\Gamma$) :

C'est l'analogue exact de $m\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = F$ : $J$ remplace $m$, $\omega$ remplace $v$, le couple remplace la force. Dans une liaison pivot idéale, l'axe exerce des actions dont le moment par rapport à l'axe est nul : seuls comptent le couple moteur et les couples résistants.

Couple constant. Si $\Gamma$ est constant, l'accélération angulaire $\alpha = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\Gamma}{J}$ l'est aussi. Depuis le repos :

Mêmes formules qu'un mouvement rectiligne uniformément accéléré, en grandeurs angulaires. Le nombre de tours est $\dfrac{\theta}{2\pi}$. Pour un freinage jusqu'à l'arrêt en une durée $t$ sous un couple constant, $\Gamma = \dfrac{J\,\omega_0}{t}$.

Le théorème de l'énergie cinétique. Le travail d'un couple constant pendant une rotation d'angle $\theta$ vaut $W = \Gamma\,\theta$ (en joules, $\theta$ en radians). Il est égal à la variation d'énergie cinétique :

C'est un second chemin vers l'angle parcouru, et un excellent contrôle. La puissance d'un couple vaut $P = \Gamma\,\omega$.

À masse égale, la répartition décide. Un anneau et un disque de même masse et de même rayon : $J_{\text{anneau}} = 2\,J_{\text{disque}}$. À la même vitesse angulaire, l'anneau stocke deux fois plus d'énergie, et sous le même couple il met deux fois plus de temps à démarrer. C'est pourquoi un volant d'inertie concentre sa masse à la périphérie.

Le roulement sans glissement. Une roue qui roule a deux mouvements : la translation de son centre à la vitesse $v$ et la rotation autour de l'axe passant par son centre. Sans glissement, le point de contact a une vitesse nulle, ce qui impose

L'énergie cinétique totale est la somme des deux termes (théorème de Koenig) :

Avec $J = k M R^{2}$ et $\omega = v/R$, le second terme vaut $k \times \dfrac{1}{2} M v^{2}$ : la rotation représente toujours la même fraction de la translation, quel que soit le rayon ($k = \frac{1}{2}$ pour un cylindre plein, $1$ pour un anneau, $\frac{2}{5}$ pour une sphère). Ne compter que la translation oublie une part de l'énergie — un tiers du total pour un cylindre plein, la moitié pour un anneau.

Énoncé. Un disque plein homogène de masse $M = 3{,}0$ kg et de rayon $R = 12$ cm tourne autour de son axe de symétrie (liaison pivot idéale). On donne $J = \dfrac{1}{2} M R^{2}$.

1. Calculer son énergie cinétique quand il tourne à $1\,100$ tr/min.
2. Partant du repos, il est entraîné par un couple constant $\Gamma = 0{,}40$ N·m. Au bout de combien de temps atteint-il $1\,100$ tr/min, et combien de tours a-t-il faits ?
3. Un cylindre plein de même masse et de même rayon roule sans glisser, son centre avançant à $6{,}0$ m/s. Calculer son énergie cinétique totale.

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1. Énergie. $J = \dfrac{1}{2} \times 3{,}0 \times 0{,}12^{2} = 2{,}16 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg \cdot m^{2}}$. Vitesse angulaire en radians par seconde :

$E_c = \dfrac{1}{2} J\omega^{2} \approx \dfrac{1}{2} \times 2{,}16 \times 10^{-2} \times 115{,}2^{2} \approx 143$ J.

Avec $1\,100$ pris pour des radians par seconde, on trouverait environ $13\,000$ J, près de cent fois trop : le facteur $(2\pi/60)^{2}$ manque. Le bord du disque va à $v = R\omega \approx 13{,}8$ m/s.

2. Démarrage. Théorème du moment cinétique : $J\,\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \Gamma$, donc $\alpha = \dfrac{\Gamma}{J} = \dfrac{0{,}40}{2{,}16 \times 10^{-2}} \approx 18{,}5\ \mathrm{rad \cdot s^{-2}}$.

$t = \dfrac{\omega}{\alpha} = \dfrac{J\omega}{\Gamma} \approx \dfrac{2{,}16 \times 10^{-2} \times 115{,}2}{0{,}40} \approx 6{,}22$ s.

Angle : $\theta = \dfrac{\omega^{2}}{2\alpha} \approx 358$ rad, soit

$\dfrac{\theta}{2\pi} \approx 57{,}0$ tours.

Contrôle par l'énergie : $\Gamma\theta \approx 0{,}40 \times 358 \approx 143$ J, l'énergie cinétique de la question 1. $\checkmark$

3. Roulement. $\omega = v/R = 6{,}0/0{,}12 = 50\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}$. Translation : $\dfrac{1}{2} M v^{2} = \dfrac{1}{2} \times 3{,}0 \times 6{,}0^{2} = 54$ J. Rotation : $\dfrac{1}{2} J\omega^{2} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} M R^{2} \times \dfrac{v^{2}}{R^{2}} = \dfrac{1}{2} \times 54 = 27$ J.

$E_c = 54 + 27 = 81$ J.

Un anneau de même masse et de même rayon roulant à la même vitesse aurait $54 + 54 = 108$ J.

Figure (fig.physics.acceleration-vector, figure programmatique de la leçon de terminale sur le vecteur accélération, réutilisée ici parce que chaque point d'un solide en rotation décrit un mouvement circulaire) : quatre vignettes en haut, deux constructions en bas.

• Vignette 4 (trajectoire circulaire à vitesse constante). La vitesse est tangente au cercle, l'accélération lui est perpendiculaire et dirigée vers le centre, de valeur $v^{2}/R$. Pour cette leçon : c'est le mouvement de chaque point d'un solide qui tourne à $\omega$ constant, avec $v = r\omega$ et une accélération centripète $r\omega^{2}$. Tous les points ont le même $\omega$ ; leurs vitesses sont proportionnelles à leur distance à l'axe. Le point du bord du disque de l'exemple, à $13{,}8$ m/s, subit une accélération centripète de près de $1\,600\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}$ : c'est la liaison avec le reste du solide qui la lui impose.
• Construction du bas à gauche. Deux vecteurs vitesse voisins sur un cercle, et leur différence $\Delta\vec{v}$ dirigée vers le centre. Pour cette leçon : la direction de la vitesse de chaque point change sans cesse, même quand $\omega$ est constant.
• Construction du bas à droite (repère de Frenet). Une accélération décomposée en composante tangentielle et composante normale. Pour cette leçon : quand un couple fait varier $\omega$, chaque point acquiert une accélération tangentielle $r\,\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$, en plus de la composante normale $r\omega^{2}$. Le théorème du moment cinétique ne fixe que la première.
• Vignettes 1 à 3 et case barrée. Mouvements rectilignes et accélération dessinée vers l'extérieur d'un virage, fausse. Pour cette leçon : aucune « force centrifuge » n'apparaît dans un référentiel galiléen ; ne la faites pas entrer dans le bilan du solide.

Ce que la figure ne montre pas : le solide lui-même et son axe, la répartition de sa masse — qui fixe $J$ — et le couple. Représentez-vous un disque et un anneau de même masse côte à côte : à vitesse angulaire égale, les points de l'anneau sont tous au bord, et son énergie est double.