Théorème de Gauss : les symétries d'abord

La loi de Coulomb donne le champ d'une charge ponctuelle. Pour une distribution étendue — une boule chargée, un fil, une plaque — il faudrait additionner des millions de contributions vectorielles. Le théorème de Gauss évite ce calcul chaque fois que la distribution est assez symétrique. Le théorème du flux reste valable sans ces symétries ; c’est l’extraction algébrique simple du champ local qui demande une symétrie suffisante.

Cadre. Distributions de charge imposées dans le vide, ou l’air assimilé au vide, sans autres champs externes pour les calculs de symétrie ci-dessous. La boule est chargée en volume, pas un conducteur en équilibre électrostatique. La surface fermée est régulière par morceaux et ne passe pas par une charge ponctuelle.

Le flux. À travers une surface orientée $\Sigma$ de normale unitaire $\vec{n}$, le flux du champ $\vec{E}$ est

en $\mathrm{V \cdot m}$. Image qualitative, sous une convention de densité : les lignes de champ qui traversent la surface, comptées positivement dans le sens de $\vec{n}$. Pour une surface fermée, $\vec{n}$ est la normale sortante : un flux positif « sort », un flux négatif « entre ».

Le théorème de Gauss. Pour une surface fermée $\Sigma$ satisfaisant les conditions précédentes,

$$\Phi = \int_{\Sigma} \vec{E} \cdot \vec{n}\,\mathrm{d}S = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},$$

où $Q_{\text{int}}$ est la charge totale située à l'intérieur de $\Sigma$, et $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}$ la permittivité du vide. Les charges extérieures créent un champ en chaque point de $\Sigma$, mais ce qui entre par un côté ressort par l'autre : leur flux total est nul. Le flux ne « voit » que ce qui est enfermé.

Vérification sur une charge ponctuelle $q$ au centre d'une sphère de rayon $r$ : la composante radiale $E_r=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ est constante sur la sphère. Le champ est radial mais son vecteur n’est pas uniforme : sa direction varie, donc $\Phi = E_r \times 4\pi r^{2} = \dfrac{q}{\varepsilon_0}$, indépendant de $r$ — c'est le théorème dans ce cas, et c'est de là qu'il vient : la décroissance en $1/r^{2}$ compense exactement la croissance de l'aire en $r^{2}$.

Pourquoi il ne suffit pas. Le théorème donne un nombre (le flux), pas le vecteur $\vec{E}$ en chaque point. Pour en extraire $\vec{E}$, il faut savoir d'avance sa direction et de quoi il dépend, afin de choisir une surface sur laquelle $\vec{E} \cdot \vec{n}$ soit constant ou nul. Ce savoir vient des symétries.

Les symétries, avant tout calcul. Deux principes, dits de Curie :

• Invariances. Si la distribution est inchangée par une translation le long d'un axe, ou par une rotation autour d'un axe, le champ ne dépend pas de la coordonnée correspondante. Fil infini : invariance par translation selon $z$ et par rotation autour de $z$, donc $E$ ne dépend que de la distance $r$ à l'axe.
• Plans de symétrie. Si un plan est plan de symétrie de la distribution, le champ en un point de ce plan est contenu dans le plan. En un point $M$ où passent deux plans de symétrie, $\vec{E}$ est porté par leur intersection. Fil infini : le plan contenant l'axe et $M$, et le plan perpendiculaire à l'axe passant par $M$, sont deux plans de symétrie ; leur intersection est la droite radiale : $\vec{E} = E(r)\,\vec{u}_r$.

Ce paragraphe, écrit avant le théorème, est ce qui sépare une copie juste d'une copie fausse. La suite n'est qu'un calcul d'aire.

La méthode est toujours la même : (1) symétries et invariances, qui donnent la direction de $\vec{E}$ et sa variable ; (2) choix d'une surface fermée épousant ces symétries ; (3) calcul du flux ; (4) charge intérieure ; (5) égalité.

Convention des expressions signées. Dans les formules suivantes, E désigne la composante orientée selon la normale radiale sortante, ou selon la normale sortant du plan de chaque côté. Si Q, λ ou σ est négatif, cette composante est négative ; la norme est sa valeur absolue. Les exemples ont des charges positives. Au centre de la boule, le champ nul est défini par symétrie, sans vecteur unitaire radial à r=0.

Boule uniformément chargée (rayon $R$, charge $Q$, densité volumique $\rho = \dfrac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}$). Symétrie sphérique : $\vec{E} = E(r)\,\vec{u}_r$. Surface de Gauss : sphère de rayon $r$ centrée sur $O$ ; flux $\Phi = E(r) \times 4\pi r^{2}$.

• Extérieur ($r \ge R$) : $Q_{\text{int}} = Q$, donc $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$. La boule se comporte comme une charge ponctuelle placée en $O$ — à l'extérieur seulement.
• Intérieur ($r \le R$) : seule la charge de la petite boule de rayon $r$ compte, $Q_{\text{int}} = Q\left(\dfrac{r}{R}\right)^{3}$, donc $E(r) = \dfrac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}} = \dfrac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}$ : pour Q positif, sa norme croît linéairement de 0 au centre jusqu'à son maximum en $r = R$, puis décroît en $1/r^{2}$. Les deux expressions se raccordent en $R$.

Exemple ($Q = 10$ nC, $R = 5{,}0$ cm) : $E(R) = \dfrac{8{,}99 \times 10^{9} \times 10^{-8}}{(0{,}050)^{2}} \approx 3{,}60 \times 10^{4}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}$ ; à $10$ cm, quatre fois moins ($8{,}99 \times 10^{3}$) ; à $2{,}0$ cm, $\dfrac{2}{5}$ de $E(R)$, soit $1{,}44 \times 10^{4}$.

Fil rectiligne infini (densité linéique $\lambda$). Symétrie cylindrique : $\vec{E} = E(r)\,\vec{u}_r$. Surface de Gauss : cylindre d'axe le fil, de rayon $r$ et de hauteur $h$. Le flux traverse la surface latérale seulement — sur les deux disques, $\vec{E} \perp \vec{n}$ — : $\Phi = E(r) \times 2\pi r h$. Charge intérieure $\lambda h$. Donc

Décroissance en $1/r$, pas en $1/r^{2}$ : le fil n'est pas une charge ponctuelle. Pour $\lambda = 10\ \mathrm{nC \cdot m^{-1}}$ à $5{,}0$ cm : $E \approx 3{,}60 \times 10^{3}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}$. La hauteur $h$ disparaît du résultat, comme il se doit.

Plan infini (densité surfacique $\sigma$). Invariance par toute translation dans le plan ; tout plan perpendiculaire est plan de symétrie ; le plan chargé lui-même est plan de symétrie, ce qui retourne le champ d'un côté à l'autre. Donc $\vec{E} = \pm E(z)\,\vec{u}_z$, dirigé loin du plan si $\sigma > 0$. Surface de Gauss : cylindre droit d'axe $\vec{u}_z$, de section $S$, dont les deux disques sont à la distance $z$ de part et d'autre. Flux : $2 E S$ (rien par la surface latérale). Charge intérieure $\sigma S$. Donc

indépendant de la distance. Le vecteur champ est uniforme dans chacun des deux demi-espaces, avec des sens opposés de part et d’autre pour σ positif ; il est discontinu au plan idéal chargé. Le modèle entre plaques finies de la figure est une approximation loin des bords, pas la preuve exacte du plan infini. Pour $\sigma = 5{,}0\ \mathrm{nC \cdot m^{-2}}$ : $E \approx 282\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}$, à $1$ mm comme à $1$ m. Une distance donnée dans l'énoncé ne sert à rien, et il faut le dire.

Le flux sans calculer le champ. Trois charges, $+2$ nC et $-5$ nC à l'intérieur d'une sphère, $+8$ nC à l'extérieur : $\Phi = \dfrac{(2 - 5) \times 10^{-9}}{8{,}85 \times 10^{-12}} \approx -339\ \mathrm{V \cdot m}$. La charge de $+8$ nC modifie $\vec{E}$ en chaque point de la sphère, pas le flux total. Et si $Q_{\text{int}} = 0$ — par exemple $+3$ nC et $-3$ nC à l'intérieur — le flux est nul sans que cela impose l’annulation du champ local : flux nul ne veut pas dire champ nul.

Portée du raccourci. Deux charges, un segment fini ou un disque n’ont pas nécessairement la symétrie suffisante pour isoler directement E avec une aire simple ; ils peuvent néanmoins posséder des symétries partielles. Le théorème de flux reste valide et utile pour des contraintes globales. Un calcul local peut demander superposition de Coulomb, intégration ou une autre méthode, sans rendre Gauss faux ou inutilisable.

Énoncé distinct. Une boule de rayon $R=3{,}0$ cm porte une charge positive $Q=6{,}0$ nC uniformément répartie en volume. On suppose le vide, aucune source extérieure et $\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}$ F/m. Déterminez le champ à 9,0 cm puis à 1,0 cm du centre et vérifiez le raccordement à la surface.

1. Symétrie et flux. Le champ est radial ; sa composante radiale ne dépend que de r. Sur la sphère de Gauss centrée de rayon r, $\Phi=E_r(r)4\pi r^2$. La charge positive rend ici la composante et la norme identiques.

2. Extérieur. À $r=0{,}090$ m, toute la charge est enfermée : $E_r=Q/(4\pi\varepsilon_0r^2)\approx6{,}66\times10^3$ V/m, dirigé vers l’extérieur.

3. Intérieur. À $r=0{,}010$ m, la charge enfermée vaut $Q(r/R)^3=6/27$ nC. Ainsi $E_r=Qr/(4\pi\varepsilon_0R^3)\approx2{,}00\times10^4$ V/m. Employer toute la charge Q à cette distance surestimerait le champ d’un facteur 27.

4. Raccordement. Les deux expressions donnent à $r=R$ la valeur $Q/(4\pi\varepsilon_0R^2)\approx5{,}99\times10^4$ V/m. La norme croît linéairement du centre à la surface, puis décroît en 1/r². À 3R elle vaut un neuvième de la valeur de surface ; à R/3 elle vaut un tiers de cette valeur.

Lecture. La surface géométrique de calcul ne doit pas être confondue avec une surface matérielle chargée. Ce sont les symétries du champ total et la charge réellement enfermée qui permettent l’extraction locale.

Lisez la figure existante. À gauche, la charge ponctuelle illustre le champ radial : les vecteurs aux distances d, 2d, 3d ont des normes E, E/4, E/9. Sur une sphère centrée, la norme est constante mais les directions varient : ce n’est pas un champ vectoriel uniforme. Les douze traits dessinés ne sont pas une mesure littérale du flux ; leur densité est une convention.

Au centre, les plaques représentées sont finies : le champ quasi uniforme décrit leur zone centrale loin des bords. Le plan infini chargé est un modèle distinct, uniforme dans chaque demi-espace avec une discontinuité au plan ; les deux contributions de plaques idéales opposées peuvent s’ajouter entre elles.

À droite, l’analogie avec la pesanteur radiale puis locale rappelle les limites d’une approximation uniforme. Aucune surface de Gauss n’est tracée. Pour les calculs de cette leçon, construisez mentalement la sphère ou le cylindre fermé et utilisez l’intégrale du champ, pas le comptage de traits d’une esquisse.