Le travail d'une force : de l'énergie transférée le long d'un déplacement

Poussez une caisse sur dix mètres : vous vous fatiguez, la caisse a gagné de la vitesse ou vaincu des frottements — de l'énergie est passée de vous à elle. Poussez maintenant un mur pendant dix minutes : vous vous fatiguez tout autant, dans le modèle d’un mur parfaitement rigide et immobile, le point d’application ne se déplace pas : le travail mécanique de cette force sur le mur est nul. Cela n’exclut pas d’autres transferts dans une situation réelle. La différence entre les deux situations n'est pas la force : c'est le déplacement. Le travail est la grandeur qui mesure ce transfert d'énergie par une force le long d'un déplacement.

Travail d'une force constante. Soit une force $\vec{F}$ constante (même valeur, même direction, même sens tout au long du trajet) s'exerçant sur un système dont le point d'application se déplace de $A$ à $B$. Le travail de $\vec{F}$ de $A$ à $B$ est le produit scalaire $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\alpha$, où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$. Il s'exprime en joules (J).

Chaque facteur porte une idée.

$F \times AB$ : plus la force est grande et plus le déplacement est long, plus le transfert est important. Un newton sur un mètre, c'est un joule.

$\cos\alpha$ : seule compte la composante de la force le long du déplacement. Une force parallèle au déplacement ($\alpha = 0°$) travaille pleinement ; une force perpendiculaire ($\alpha = 90°$) ne travaille pas du tout, si intense soit-elle — le poids d'une valise qu'on tire sur un sol horizontal n'y transfère aucune énergie. Une force opposée au déplacement ($\alpha = 180°$) travaille négativement.

Le signe du travail est donc une information physique, pas un accident de calcul.

Travail moteur, travail résistant. Si $W_{AB}(\vec{F}) > 0$ ($\alpha < 90°$), la force est motrice : elle fournit de l'énergie au système. Si $W_{AB}(\vec{F}) < 0$ ($\alpha > 90°$), elle est résistante : elle en prélève. Si $\alpha = 90°$, le travail est nul.

Vous reconnaissez le produit scalaire du cours de mathématiques : c'est lui, et c'est précisément pour cela qu'il est au programme de la même année. Le travail est le premier usage physique du produit scalaire, et le meilleur moyen de comprendre pourquoi il vaut $\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos\theta$.

Le travail du poids ne dépend que de la dénivelée. Le poids $\vec{P}$ est une force constante (à l'échelle d'un exercice) : vertical, vers le bas, de valeur $m g$. Sur un déplacement $\overrightarrow{AB}$ quelconque, $W_{AB}(\vec{P}) = P \times AB \times \cos\alpha$, et le produit $AB \times \cos\alpha$ est la projection du déplacement sur la verticale descendante : c'est la différence d'altitude $z_A - z_B$ (axe $z$ vertical ascendant). D'où

Le chemin suivi n'y figure pas. Qu'un skieur descende $30$ m de dénivelée par la piste rouge ou par la verte, le travail de son poids est le même : $+m g \times 30$. Positif en descente (moteur), négatif en montée (résistant), nul sur un trajet horizontal. Une force dont le travail ne dépend pas du chemin est dite conservative ; le poids en est l'exemple du programme, et cette propriété fondera l'énergie potentielle de la leçon suivante.

Glissement sur un support immobile. Dans le référentiel où le support est fixe, un frottement de glissement s’oppose au mouvement relatif du mobile. Si sa valeur $f$ est constante, son travail vaut $W(\vec f)=-fL,$ où $L$ est la longueur du chemin parcouru, égale à $AB$ seulement pour un trajet rectiligne sans retour. Ce travail est résistant dans ce cadre. Sur un tapis roulant mobile, le frottement peut au contraire fournir de l’énergie au mobile ; le frottement statique peut aussi avoir un rôle moteur. Le signe dépend du système et du référentiel.

Qui tire, qui retient. Une corde idéale tendue exerce une traction le long de la corde. Une perche ou une poignée rigide peuvent aussi pousser. Dans chaque cas, le signe se lit sur l’angle entre la force exercée et le déplacement : vers l’avant, le travail est moteur ; vers l’arrière, il est résistant. Une traction de corde peut donc ralentir un mobile si elle le retient depuis l’arrière.

Le théorème de l'énergie cinétique : le bilan. Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel ou un solide en translation de masse constante, l’énergie cinétique, $E_c = \dfrac{1}{2} m v^2$, ne change que si des forces travaillent. Le programme énonce :

la somme portant sur toutes les forces exercées sur le système entre $A$ et $B$ — y compris celles dont le travail est nul, que l'on cite pour dire qu'on ne les a pas oubliées. Le théorème relie une variation d'état (l'énergie cinétique) à des transferts (les travaux) : les travaux moteurs augmentent la vitesse, les travaux résistants la diminuent, et leur somme dit lequel l'emporte.

Pourquoi c'est vrai. Ce théorème se démontre en terminale à partir de la loi du mouvement (la deuxième loi de Newton) ; en première, on l'admet et on l'utilise. Vous pouvez déjà en sentir la cohérence sur un cas simple : une force constante qui pousse dans le sens du mouvement fait gagner de la vitesse, et le gain d'énergie cinétique est proportionnel à la distance sur laquelle elle a poussé — c'est exactement $F \times AB$. Le théorème n'est pas un décret : c'est la loi du mouvement réécrite en énergie.

Modèle. La luge est assimilée à un point matériel de masse constante ; le sol est immobile dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Énoncé. Un enfant tire une luge de masse $m = 30$ kg sur un chemin enneigé horizontal et rectiligne, entre deux points $A$ et $B$ distants de $AB = 40$ m. La corde exerce une force $\vec{F}$ constante, de valeur $F = 60$ N, faisant un angle $\alpha = 60°$ avec le déplacement. La neige exerce sur la luge une force de frottement $\vec{f}$ constante, de valeur $f = 25$ N, opposée au mouvement, et une réaction normale $\vec{R}$ perpendiculaire au sol. On donne $g = 9{,}81$ N/kg. La luge part de $A$ sans vitesse.

Questions. 1. Calculer le travail de chacune des quatre forces entre $A$ et $B$. 2. En déduire la vitesse de la luge en $B$.

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1. Les quatre travaux.

La traction de la corde : $\cos 60° = 0{,}5$, valeur exacte.

Positif : la corde est motrice.

Les frottements : opposés au déplacement, $\alpha = 180°$, $\cos 180° = -1$.

Négatif : les frottements sont résistants.

Le poids : vertical, le déplacement est horizontal, $\alpha = 90°$.

Le poids vaut pourtant $P = 30 \times 9{,}81 = 294{,}3$ N : une force non nulle, un travail nul.

La réaction normale : perpendiculaire au sol, donc au déplacement.

2. Le théorème de l'énergie cinétique. La luge part sans vitesse, $E_c(A) = 0$. Entre $A$ et $B$ :

Donc $\dfrac{1}{2} m v_B^2 = 200$, soit

En $B$, la luge glisse à environ $3{,}65$ m/s (un peu plus de $13$ km/h).

3. Lire le bilan. La corde a fourni $1200$ J ; les frottements en ont prélevé $1000$ ; il en reste $200$ sous forme d'énergie cinétique. Les cinq sixièmes de l'énergie apportée par l'enfant ont servi à vaincre la neige — c'est la physique ordinaire d'un trajet à vitesse modérée. Deux forces n'ont rien transféré, le poids et la réaction, mais on les a écrites : un bilan qui omet une force est un bilan que l'on ne peut pas vérifier.

4. Contrôler. Signe de chaque travail cohérent avec le rôle de la force ✔. Somme positive, donc vitesse finale supérieure à la vitesse initiale ✔. Ordre de grandeur d'une luge tirée par un enfant ✔. Racine calculée sur une fraction exacte, arrondi en dernier ✔.

Les cinq vignettes comparent des forces de même valeur, mais d’angles différents avec le déplacement de la luge : 0° et 60° donnent un travail moteur ; 90° un travail nul ; 120° et 180° un travail résistant. La vignette de frottement correspond au glissement sur le support immobile retenu dans ce modèle.

Le bilan met en regard +1200 J de traction et −1000 J de glissement : la somme +200 J est la variation d’énergie cinétique. Les deux chemins du bas ont la même dénivelée ; ils donnent le même travail du poids dans le champ uniforme, sans imposer le même travail de frottement, qui dépend de la longueur parcourue.