Énergie électromagnétique et vecteur de Poynting

Un champ électromagnétique stocke et transporte de l'énergie. Dans le vide, sa densité volumique vaut $u=\varepsilon_0E^2/2+B^2/(2\mu_0)$, en joules par mètre cube. Le vecteur de Poynting $\vec\Pi=\vec E\times\vec B/\mu_0$, en watts par mètre carré, décrit le flux local de cette énergie. Son sens dépend du produit vectoriel, pas de l'un des champs pris isolément.

Pour une surface orientée, $\iint\vec\Pi\cdot\vec n\,\mathrm dS$ est une puissance algébrique. Avec la normale sortante d'un volume, un flux positif signifie que l'énergie quitte ce volume. Ces expressions concernent ici le vide ; un milieu matériel requiert un bilan adapté à ses propriétés.

Le théorème local de Poynting s'écrit $\partial_tu+\operatorname{div}\vec\Pi=-\vec j\cdot\vec E$. Le terme $\vec j\cdot\vec E$ est la puissance volumique cédée par le champ aux charges. En intégrant sur un volume fixe : variation de l'énergie stockée + puissance sortante = opposé de la puissance cédée aux charges.

Pour une onde plane progressive dans le vide, $\vec B=\vec n\times\vec E/c$, les champs sont transverses et $B=E/c$. Les parts électrique et magnétique de $u$ sont égales. On trouve $\vec\Pi=\varepsilon_0cE^2\vec n=uc\vec n$. Pour une onde sinusoïdale d'amplitude électrique $E_0$, la moyenne temporelle vaut $\langle\Pi\rangle=\varepsilon_0cE_0^2/2$. Le facteur $1/2$ vient de la moyenne de $\cos^2$.

Une onde plane sinusoïdale se propage selon $+z$. Son champ électrique est $\vec E=E_0\cos(\omega t-kz)\vec e_x$, avec $E_0=12\ \mathrm{V\,m^{-1}}$. Le champ magnétique est selon $+y$ quand le cosinus est positif : $\vec e_z\times\vec e_x=\vec e_y$.

Avec $c=3{,}00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, $B_0=E_0/c=4{,}00\times10^{-8}\ \mathrm T$. En prenant $\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}$, l'intensité moyenne est $0{,}191\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ à trois chiffres significatifs. Une surface de $0{,}0200\ \mathrm{m^2}$ perpendiculaire à la propagation reçoit une puissance moyenne de $3{,}82\ \mathrm{mW}$. Incliner la surface impose le facteur de projection approprié.

La figure représente une boîte de bilan : un flux entrant de $5\ \mathrm W$, un flux sortant de $3\ \mathrm W$ et une puissance de $1\ \mathrm W$ cédée aux charges. L'énergie du champ dans la boîte augmente donc de $1\ \mathrm J$ par seconde. Les signes sont fixés par la normale sortante : le flux total sortant est $3-5=-2\ \mathrm W$.

Appliquez le bilan : $\mathrm dU/\mathrm dt-2=-1$, d'où $\mathrm dU/\mathrm dt=1\ \mathrm W$. Les flèches représentent des puissances, pas des lignes de champ.