Le vecteur vitesse instantanée : la vitesse à un instant précis

Dans la leçon précédente, vous avez calculé des vitesses moyennes : une distance divisée par la durée du parcours. Le compteur d'une voiture, lui, n'affiche pas une moyenne — il affiche la vitesse maintenant, à cet instant précis. Comment définir une vitesse à un instant, alors qu'un instant n'a pas de durée et qu'en une durée nulle on ne parcourt aucune distance ?

La réponse de la physique est un passage à la limite, que vous rencontrez la même année en mathématiques. On prend deux positions du mobile à deux instants très voisins, on divise le déplacement par la durée, et l'on regarde ce que devient ce quotient quand la durée devient de plus en plus courte. Si la position est dérivable à cet instant, ce quotient tend vers une limite : le vecteur vitesse instantanée.

Vecteur vitesse instantanée. Soit un système modélisé par un point $M$, dont la position dépend du temps. Sa vitesse à l'instant $t$ est le vecteur $\vec{v}(t) \approx \dfrac{\overrightarrow{M(t)\,M(t + \Delta t)}}{\Delta t}$, où l’intervalle est choisi assez court pour résoudre l’évolution locale du mouvement. Dans un modèle dérivable avec positions exactes, le quotient converge quand $\Delta t$ tend vers zéro. Avec des positions mesurées et bruitées, réduire cet intervalle ne garantit pas une meilleure estimation : l’erreur de position est aussi divisée par la durée.

Trois caractéristiques de ce vecteur se lisent directement sur sa définition.

Sa direction est celle de la corde $M(t)\,M(t + \Delta t)$, qui, lorsque les deux points se rapprochent, devient la tangente à la trajectoire au point $M(t)$. Lorsqu’il est non nul sur une trajectoire régulière, le vecteur vitesse est tangent à celle-ci. Un vecteur vitesse nul n’a ni direction ni sens.

Son sens, lorsqu’il est non nul, est celui du mouvement : de $M(t)$ vers $M(t + \Delta t)$.

Sa valeur (sa norme) est ce que mesure le compteur : le quotient de la longueur du petit déplacement par la petite durée, en mètres par seconde.

En pratique, sur une chronophotographie prise toutes les $\Delta t$, on estime la vitesse au point $M_i$ avec ses deux voisins, ce qui encadre l'instant visé :

Cette formule « centrée » est celle des exercices : elle demande deux positions, l'une avant, l'autre après. Une seule position ne donne aucune vitesse — pas plus qu'une seule photo ne dit si la voiture roule.

Le lien avec les mathématiques. Pour un mouvement rectiligne repéré par une abscisse $x(t)$, le quotient $\dfrac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$ est exactement le taux de variation de la fonction $x$ entre $t$ et $t + \Delta t$ — celui dont la limite, quand $\Delta t$ tend vers $0$, définit le nombre dérivé $x'(t)$. En une dimension, la dérivée donne la composante algébrique de la vitesse sur l’axe. On la note v(t) dans les calculs rectilignes ci-dessous ; elle peut être négative. La norme vaut |x′(t)| et ne doit pas être confondue avec cette composante :

Le programme de physique de première ne l'exige pas : il définit la vitesse par deux positions voisines. Quand un énoncé vous donne l'expression de $x(t)$, il écrit « on admet que la vitesse instantanée est la dérivée de la position », et vous dérivez — c'est une méthode autorisée, pas une définition à réciter. L'expression explicite de $\vec{v}$ comme dérivée du vecteur position est réservée à la Terminale.

Une coïncidence utile. Pour un mouvement dont la position est un polynôme de degré 2 (une voiture qui freine régulièrement, une balle lancée verticalement), le quotient centré $\dfrac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0 - \Delta t)}{2\,\Delta t}$ est exactement égal à $x'(t_0)$, pour toute durée $\Delta t$ dont les deux dates encadrantes restent dans le domaine de ce modèle. Développez pour vous en convaincre avec $x(t) = a t^2 + b t + c$ : les termes en $\Delta t^2$ se compensent, il reste $2 a t_0 + b$. C'est pourquoi les corrigés peuvent écrire « $=$ » sur cette ligne, et pourquoi le quotient centré est meilleur que le quotient « en avant » $\dfrac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t}$, qui, lui, dévie d'un terme $a\,\Delta t$.

Vitesse nulle, position non nulle. Une balle lancée verticalement vers le haut, au sommet de sa trajectoire, a une vitesse nulle — elle s'immobilise l'espace d'un instant avant de redescendre — mais son altitude est maximale, pas nulle. Position et vitesse sont deux grandeurs indépendantes : l'une dit où l'on est, l'autre comment cela change. Un mobile peut passer par l'origine à toute vitesse, et s'arrêter loin d'elle.

En deux dimensions : des coordonnées. Sur une trajectoire courbe repérée dans un repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$, la définition s'applique coordonnée par coordonnée. Si $M_2\,(1{,}20\,;\,0{,}80)$ et $M_4\,(1{,}80\,;\,1{,}10)$ (en mètres) encadrent $M_3$ sur une chronophotographie à $\Delta t = 40$ ms :

et la valeur vaut $v_3 = \sqrt{7{,}5^2 + 3{,}75^2} = \sqrt{70{,}3125} \approx 8{,}4$ m/s. La corde $\overrightarrow{M_2 M_4}$ donne une approximation de la direction tangentielle en $M_3$, sans égalité exacte en général pour cet intervalle fini.

La vitesse est un vecteur : la direction compte. Dans un virage pris à compteur constant, la valeur ne change pas mais la direction tourne : le vecteur vitesse change. C'est cette variation, mesurée entre deux instants voisins par $\Delta \vec{v} = \vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)$, que le chapitre suivant reliera aux forces — la suite naturelle de cette leçon.

Énoncé. Une voiture freine sur une route rectiligne. Dans le référentiel terrestre, on repère sa position par son abscisse $x$ (en m) sur un axe orienté dans le sens du mouvement, et l'étude donne, pour $t$ en secondes, $x(t) = 10 + 24\,t - 1{,}5\,t^2$.

Questions. 1. Calculer la vitesse moyenne entre $t = 0$ et $t = 3$ s. 2. Estimer la vitesse instantanée à $t_0 = 3$ s à partir des positions à $2{,}5$ s et $3{,}5$ s. 3. On admet que la vitesse instantanée est la dérivée de la position : retrouver le résultat, puis déterminer l'instant où la voiture s'arrête.

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1. La vitesse moyenne — une corde, pas une tangente.

Ce nombre résume trois secondes de freinage ; il ne dit pas la vitesse à un instant donné.

2. La vitesse instantanée par deux positions voisines.

À $t_0 = 3$ s, la voiture roule à $15$ m/s (soit $54$ km/h) : moins que la moyenne, ce qui est cohérent — elle freine, sa vitesse à la fin de l'intervalle est plus faible qu'au début.

3. Par la dérivée, comme l'énoncé l'admet.

Les deux chemins donnent la même valeur : la position est un polynôme de degré 2, et le quotient centré coïncide exactement avec la dérivée.

L'arrêt correspond à $v(t_1) = 0$ :

La voiture s'immobilise à $t_1 = 8$ s, à l'abscisse $x(8) = 10 + 192 - 96 = 106$ m — une position qui n'a rien de nul. Au-delà de $8$ s, le modèle cesserait de s'appliquer (il ferait reculer la voiture) ; un modèle a toujours un domaine de validité.

4. Contrôler. Le signe : $v(3) > 0$, le mobile avance dans le sens de l'axe ✔. L'ordre de grandeur : $15$ m/s pour une voiture en ville, plausible ✔. La cohérence : $v(0) = 24$ m/s, $v(3) = 15$ m/s, $v(8) = 0$ — la vitesse décroît régulièrement, comme il sied à un freinage ✔.

Le panneau supérieur compare trois cordes centrées autour de M₃. La plus courte donne l’estimation (1,1 ; 0,7) m/s ; pour la courbe choisie, la dérivée exacte vaut (1,10 ; 0,675) m/s. Le dessin montre donc une direction approchée, voisine de la tangente, avec environ 1° d’écart, et non une tangence exacte de la corde finie.

Dans le panneau de la voiture, la position est quadratique : le quotient centré à 3 s donne exactement la composante dérivée 15 m/s. La corde de 0 à 3 s donne une composante moyenne de 19,5 m/s. Le sommet à 8 s correspond à une dérivée nulle et à x = 106 m ; le modèle de freinage s’arrête là, même si la parabole est prolongée graphiquement pour en montrer la forme.