Binaire, hexadécimal, ASCII : coder l’information

Dans un produit, un capteur, un convertisseur ou une trame transmettent des nombres. Le même nombre peut s’écrire dans plusieurs bases :

• en décimal (base 10), avec les chiffres 0 à 9 : c’est l’écriture habituelle ;
• en binaire (base 2), avec les chiffres 0 et 1 : c’est l’écriture des circuits numériques ; chaque chiffre est un bit ;
• en hexadécimal (base 16), avec les chiffres 0 à 9 puis A, B, C, D, E, F pour les valeurs 10 à 15 : c’est une écriture compacte du binaire.

Règle de numération. Dans une base $b$, chaque chiffre a un poids qui dépend de son rang, compté à partir de la droite : $b^{0} = 1$, puis $b^{1}$, $b^{2}$… La valeur du nombre est la somme des chiffres multipliés par leurs poids.

• En binaire, les poids sont 1, 2, 4, 8, 16, 32… : chaque rang vers la gauche double le poids.
• En hexadécimal, les poids sont 1, 16, 256, 4 096…

Combien de valeurs sur n bits ? Avec $n$ bits, on écrit $2^{n}$ valeurs différentes : les entiers de 0 à $2^{n} - 1$. Sur 8 bits (un octet) : de 0 à 255.

Du binaire au décimal. On additionne les poids des bits qui valent 1. Un mot long s’écrit souvent par groupes de quatre bits (des quartets) pour être lisible.

Du décimal au binaire. On divise le nombre par 2, puis le quotient par 2, et ainsi de suite jusqu’à un quotient nul ; les restes, lus du dernier au premier, donnent l’écriture binaire.

Entre binaire et hexadécimal. Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, car $16 = 2^{4}$. On groupe les bits par quatre en partant de la droite, puis on remplace chaque quartet par son chiffre hexadécimal (0000 → 0, …, 1001 → 9, 1010 → A, …, 1111 → F).

De l’hexadécimal au décimal. On remplace chaque lettre par sa valeur (A = 10, …, F = 15), puis on multiplie chaque chiffre par le poids de son rang (1, 16, 256…). Attention : un code hexadécimal ne se lit jamais comme un nombre décimal ; 20 en hexadécimal vaut 2 × 16 = 32.

ASCII. Pour transmettre du texte, chaque caractère reçoit un numéro : son code ASCII. La lettre A majuscule a le code 65, soit 41 en hexadécimal. Identifier le type de codage d’une donnée, c’est savoir si une suite de bits représente un nombre, un caractère, ou autre chose.

Taille des données. Une variable de $n$ bits ne peut pas contenir une valeur supérieure à $2^{n} - 1$. Sur 8 bits, 255 + 1 = 256 s’écrit 1 0000 0000 : il faudrait un neuvième bit ; si l’on ne garde que les 8 bits de droite, on obtient 0. C’est un dépassement. Pour l’éviter, on choisit le nombre de bits d’après la plus grande valeur à coder.

1. Binaire → décimal. Un convertisseur de 12 bits transmet le mot 0000 1011 0110. De droite à gauche, les poids vont de $2^{0} = 1$ à $2^{11} = 2\,048$. Les bits à 1 ont pour poids 128, 32, 16, 4 et 2 :

2. Binaire → hexadécimal. Les quartets 0000, 1011, 0110 valent 0, 11 et 6, soit 0B6, c’est-à-dire B6 en hexadécimal. Contrôle : $11 \times 16 + 6 = 176 + 6 = 182$.

3. Hexadécimal → décimal. Une trame contient le code FC8. F vaut 15 et C vaut 12 :

4. Décimal → binaire. Pour 45 : 45 = 2 × 22 + 1 ; 22 = 2 × 11 + 0 ; 11 = 2 × 5 + 1 ; 5 = 2 × 2 + 1 ; 2 = 2 × 1 + 0 ; 1 = 2 × 0 + 1. Restes lus de bas en haut : 101101. Contrôle : 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

5. Nombre de bits nécessaires. Un compteur d’impulsions produit des entiers de 0 à 100 000. Sur 16 bits, on va jusqu’à $2^{16} - 1 = 65\,535$ : trop peu. Sur 17 bits, jusqu’à $2^{17} - 1 = 131\,071$ : cela suffit. Il faut 17 bits.

Poids des rangs, de droite à gauche :

Ce qu’il faut lire : un quartet couvre exactement les 16 valeurs d’un chiffre hexadécimal ; c’est pour cela qu’on passe du binaire à l’hexadécimal quartet par quartet, sans calcul.